मूल और तर्कसंगत डिग्री परीक्षण 10. डिग्री की जड़ n: मूल परिभाषाएं

अभ्यास में जड़ निकालने के संचालन का सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन के गुणों से परिचित होने की आवश्यकता है।
सभी गुण केवल मूल संकेतों के अंतर्गत निहित चर के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए तैयार और सिद्ध किए जाते हैं।

प्रमेय 1। जड़ nth डिग्री(n=2, 3, 4,...) दो गैर-ऋणात्मक चिपसेट के गुणनफल से इन संख्याओं के nवें मूल के गुणनफल के बराबर है:

टिप्पणी:

1. प्रमेय 1 उस स्थिति के लिए मान्य रहता है जब मूल व्यंजक दो से अधिक गैर-ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल होता है।

प्रमेय 2।अगर, और n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है, तो समानता

प्रमेय 1 हमें m . को गुणा करने की अनुमति देता है केवल एक ही डिग्री की जड़ें , अर्थात। केवल एक ही घातांक के साथ जड़ें।

प्रमेय 3. यदि ,k एक प्राकृत संख्या है और n एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी है, तो समानता

दूसरे शब्दों में, जड़ को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, इस शक्ति की जड़ अभिव्यक्ति को ऊपर उठाने के लिए पर्याप्त है।
यह प्रमेय 1 का परिणाम है। वास्तव में, उदाहरण के लिए, k = 3 के लिए हमें प्राप्त होता है

प्रमेय 4. यदि ,k, n 1 से बड़ी प्राकृत संख्याएँ हैं, तो समानता

दूसरे शब्दों में, जड़ से जड़ निकालने के लिए, जड़ों के घातांक को गुणा करना पर्याप्त है।
उदाहरण के लिए,

सावधान रहे!हमने सीखा कि जड़ों पर चार ऑपरेशन किए जा सकते हैं: गुणा, भाग, घातांक, और जड़ (मूल से) निकालना। लेकिन जड़ों के जोड़ और घटाव के बारे में क्या? बिलकुल नहीं।
उदाहरण के लिए, आप वास्तव में नहीं लिख सकते हैं, लेकिन यह स्पष्ट है कि

प्रमेय 5. यदि मूल और मूल व्यंजक के संकेतकों को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या भाग दें, तो मूल का मान नहीं बदलेगा, अर्थात।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 2गणना
समाधान।प्रतिवर्ती मिश्रित संख्याएक अनुचित अंश में।
हमारे पास जड़ों की दूसरी संपत्ति का उपयोग करना है ( प्रमेय 2 ), हम पाते हैं:

उदाहरण 3गणना करें:

समाधान।बीजगणित में कोई भी सूत्र, जैसा कि आप अच्छी तरह से जानते हैं, न केवल "बाएं से दाएं", बल्कि "दाएं से बाएं" का भी उपयोग किया जाता है। तो, जड़ों की पहली संपत्ति का मतलब है कि इसे रूप में दर्शाया जा सकता है और इसके विपरीत, अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यही बात जड़ों के दूसरे गुण पर भी लागू होती है। इसे ध्यान में रखते हुए, आइए गणना करते हैं।

बधाई हो: आज हम जड़ों का विश्लेषण करेंगे - 8वीं कक्षा के सबसे दिमाग उड़ाने वाले विषयों में से एक। :)

बहुत से लोग जड़ों के बारे में भ्रमित नहीं होते हैं क्योंकि वे जटिल हैं (जो जटिल है - कुछ परिभाषाएं और कुछ और गुण), बल्कि इसलिए कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में जड़ों को ऐसे जंगली के माध्यम से परिभाषित किया जाता है कि केवल पाठ्यपुस्तकों के लेखक ही कर सकते हैं इस स्क्रिबलिंग को समझें। और तब भी केवल अच्छी व्हिस्की की बोतल के साथ। :)

इसलिए, अब मैं जड़ की सबसे सही और सबसे सक्षम परिभाषा दूंगा - केवल वही जिसे आपको वास्तव में याद रखना चाहिए। और उसके बाद ही मैं समझाऊंगा: यह सब क्यों आवश्यक है और इसे व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

लेकिन पहले, एक महत्वपूर्ण बिंदु को याद रखें, जिसके बारे में किसी कारण से पाठ्यपुस्तकों के कई संकलनकर्ता "भूल जाते हैं":

जड़ें सम अंश की हो सकती हैं (हमारा पसंदीदा $\sqrt(a)$, साथ ही कोई भी $\sqrt(a)$ और यहां तक ​​कि $\sqrt(a)$) और विषम डिग्री (कोई भी $\sqrt(a)$ , $\ sqrt (ए) $ आदि)। और विषम कोटि के मूल की परिभाषा सम अंश से कुछ भिन्न है।

यहाँ इस कमबख्त में "कुछ अलग" छिपा है, शायद, जड़ों से जुड़ी सभी त्रुटियों और गलतफहमी का 95%। तो आइए एक बार और सभी के लिए शब्दावली को स्पष्ट करें:

परिभाषा। यहां तक ​​कि जड़ एनसंख्या $a$ से कोई है गैर नकारात्मकएक संख्या $b$ जैसे कि $((b)^(n))=a$। और समान संख्या $a$ से एक विषम डिग्री की जड़ आम तौर पर कोई भी संख्या $b$ होती है जिसके लिए समान समानता होती है: $((b)^(n))=a$।

किसी भी मामले में, रूट को इस तरह दर्शाया गया है:

\(ए)\]

इस तरह के अंकन में संख्या $n$ को मूल घातांक कहा जाता है, और संख्या $a$ को मूल व्यंजक कहा जाता है। विशेष रूप से, $n=2$ के लिए हमें अपना "पसंदीदा" वर्गमूल मिलता है (वैसे, यह एक सम अंश का मूल है), और $n=3$ के लिए हमें एक घनमूल (विषम डिग्री) मिलता है, जो अक्सर समस्याओं और समीकरणों में भी पाया जाता है।

उदाहरण। वर्गमूलों के क्लासिक उदाहरण:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(4)=2; \\ और \sqrt(81)=9; \\ और \sqrt(256)=16. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

वैसे, $\sqrt(0)=0$ और $\sqrt(1)=1$। यह $((0)^(2))=0$ और $((1)^(2))=1$ के बाद से काफी तार्किक है।

घन जड़ें भी आम हैं - उनसे डरो मत:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(27)=3; \\ और \sqrt(-64)=-4; \\ और \sqrt(343)=7. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

खैर, कुछ "विदेशी उदाहरण":

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(81)=3; \\ और \sqrt(-32)=-2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

यदि आप यह नहीं समझ पा रहे हैं कि सम और विषम डिग्री में क्या अंतर है, तो परिभाषा को फिर से पढ़ें। बहुत जरुरी है!

इस बीच, हम जड़ों की एक अप्रिय विशेषता पर विचार करेंगे, जिसके कारण हमें सम और विषम घातांक के लिए एक अलग परिभाषा पेश करने की आवश्यकता थी।

हमें जड़ों की बिल्कुल आवश्यकता क्यों है?

परिभाषा पढ़ने के बाद, कई छात्र पूछेंगे: "गणितज्ञों ने इसके साथ आने पर क्या धूम्रपान किया?" और वास्तव में: हमें इन सभी जड़ों की आवश्यकता क्यों है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक पल के लिए प्राथमिक विद्यालय की ओर चलते हैं। याद रखें: उन दूर के समय में, जब पेड़ हरे थे और पकौड़ी स्वादिष्ट थे, हमारी मुख्य चिंता संख्याओं को सही ढंग से गुणा करना था। खैर, "पांच बटा पांच - पच्चीस" की भावना में कुछ, बस इतना ही। लेकिन आखिरकार, आप संख्याओं को जोड़े में नहीं, बल्कि तीन गुना, चार और आम तौर पर पूरे सेट में गुणा कर सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 5\cdot 5=25; \\ और 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ और 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ और 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ और 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

हालाँकि, यह बात नहीं है। चाल अलग है: गणितज्ञ आलसी लोग हैं, इसलिए उन्हें दस फाइव का गुणन इस तरह लिखना पड़ा:

इसलिए वे डिग्री लेकर आए। एक लंबी स्ट्रिंग के बजाय कारकों की संख्या को सुपरस्क्रिप्ट के रूप में क्यों न लिखें? यह एक तरह:

यह बहुत सुविधाजनक है! सभी गणनाएं कई गुना कम हो जाती हैं, और आप कुछ 5 183 लिखने के लिए नोटबुक की चर्मपत्र शीट का एक गुच्छा खर्च नहीं कर सकते हैं। इस तरह की प्रविष्टि को संख्या की डिग्री कहा जाता था, इसमें गुणों का एक गुच्छा पाया जाता था, लेकिन खुशी अल्पकालिक निकली।

एक भव्य शराब के बाद, जो कि डिग्री की "खोज" के बारे में आयोजित किया गया था, कुछ विशेष रूप से पत्थर के गणितज्ञ ने अचानक पूछा: "क्या होगा यदि हम किसी संख्या की डिग्री जानते हैं, लेकिन हम संख्या को स्वयं नहीं जानते हैं?" वास्तव में, यदि हम जानते हैं कि एक निश्चित संख्या $b$, उदाहरण के लिए, 5वीं शक्ति को 243 देती है, तो हम कैसे अनुमान लगा सकते हैं कि संख्या $b$ किसके बराबर है?

यह समस्या पहली नज़र में लगने की तुलना में कहीं अधिक वैश्विक हो गई है। क्योंकि यह पता चला है कि अधिकांश "तैयार" डिग्री के लिए ऐसी कोई "प्रारंभिक" संख्या नहीं है। अपने लिए न्यायाधीश:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((बी)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

क्या होगा यदि $((b)^(3))=50$? यह पता चला है कि आपको एक निश्चित संख्या खोजने की आवश्यकता है, जिसे तीन बार गुणा करने पर हमें 50 मिलेगा। लेकिन यह संख्या क्या है? यह स्पष्ट रूप से 3 से बड़ा है क्योंकि 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. यानी यह संख्या तीन और चार के बीच कहीं है, लेकिन यह किसके बराबर है - अंजीर आप समझ जाएंगे।

यही कारण है कि गणितज्ञ $n$-th जड़ों के साथ आए। यही कारण है कि कट्टरपंथी चिह्न $\sqrt(*)$ पेश किया गया था। उसी संख्या को निरूपित करने के लिए $b$, जो, निर्दिष्ट शक्ति के लिए, हमें पहले से ज्ञात मान देगा

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

मैं तर्क नहीं देता: अक्सर इन जड़ों को आसानी से माना जाता है - हमने ऊपर ऐसे कई उदाहरण देखे हैं। लेकिन फिर भी, ज्यादातर मामलों में, यदि आप एक मनमानी संख्या के बारे में सोचते हैं, और फिर उसमें से एक मनमानी डिग्री की जड़ निकालने का प्रयास करते हैं, तो आप एक क्रूर बमर के लिए हैं।

वहां क्या है! यहां तक ​​​​कि सबसे सरल और सबसे परिचित $\sqrt(2)$ को हमारे सामान्य रूप में - एक पूर्णांक या एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। और अगर आप इस नंबर को कैलकुलेटर में चलाते हैं, तो आप इसे देखेंगे:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं का एक अंतहीन क्रम होता है जो किसी भी तर्क का पालन नहीं करता है। बेशक, आप अन्य संख्याओं के साथ तुलना करने के लिए इस संख्या को गोल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

\[\sqrt(2)=1.4142...\लगभग 1.4 \lt 1.5\]

या यहाँ एक और उदाहरण है:

\[\sqrt(3)=1.73205...\लगभग 1.7 \gt 1.5\]

लेकिन ये सभी गोलाई, सबसे पहले, बल्कि खुरदरी हैं; और दूसरी बात, साथ काम करें अनुमानित मानआपको सक्षम होने की भी आवश्यकता है, अन्यथा आप गैर-स्पष्ट गलतियों का एक समूह पकड़ सकते हैं (वैसे, प्रोफाइल परीक्षा में तुलना और गोल करने के कौशल की जांच आवश्यक है)।

इसलिए, गंभीर गणित में कोई जड़ों के बिना नहीं कर सकता - वे सभी वास्तविक संख्याओं $\mathbb(R)$ के सेट के समान प्रतिनिधि हैं, साथ ही साथ अंश और पूर्णांक लंबे समय से हमारे परिचित हैं।

$\frac(p)(q)$ रूप के एक अंश के रूप में मूल का प्रतिनिधित्व करने की असंभवता का अर्थ है कि यह जड़ नहीं है तर्कसंगत संख्या. ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और उन्हें एक कट्टरपंथी, या इसके लिए विशेष रूप से डिजाइन किए गए अन्य निर्माणों (लघुगणक, डिग्री, सीमा, आदि) की सहायता के अलावा सटीक रूप से प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। लेकिन उस पर एक बार और।

कुछ उदाहरणों पर विचार करें, जहाँ सभी गणनाओं के बाद भी अपरिमेय संख्याएँ उत्तर में बनी रहेंगी।

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\लगभग 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\लगभग -1,2599... \\ \end(align)\]

स्वाभाविक रूप से, द्वारा दिखावटदशमलव बिंदु के बाद कौन सी संख्याएँ आएंगी इसका अनुमान लगाना लगभग असंभव है। हालाँकि, कैलकुलेटर पर गणना करना संभव है, लेकिन सबसे उन्नत तिथि कैलकुलेटर भी हमें एक अपरिमेय संख्या के केवल पहले कुछ अंक देता है। इसलिए, उत्तरों को $\sqrt(5)$ और $\sqrt(-2)$ के रूप में लिखना कहीं अधिक सही है।

यही उनका आविष्कार किया गया था। उत्तर लिखना आसान बनाने के लिए।

दो परिभाषाओं की आवश्यकता क्यों है?

चौकस पाठक ने शायद पहले ही देखा है कि उदाहरणों में दिए गए सभी वर्गमूल सकारात्मक संख्याओं से लिए गए हैं। ठीक है, कम से कम शून्य से। लेकिन घन जड़ों को शांति से किसी भी संख्या से निकाला जाता है - यहां तक ​​​​कि सकारात्मक, यहां तक ​​​​कि नकारात्मक भी।

ये क्यों हो रहा है? फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें $y=((x)^(2))$:

आइए इस ग्राफ का उपयोग करके $\sqrt(4)$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, ग्राफ पर एक क्षैतिज रेखा $y=4$ (लाल रंग में चिह्नित) खींची जाती है, जो परवलय को दो बिंदुओं पर काटती है: $((x)_(1))=2$ और $((x) _(2)) =-2$। यह काफी तार्किक है, क्योंकि

पहली संख्या के साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह सकारात्मक है, इसलिए यह जड़ है:

लेकिन फिर दूसरी बात का क्या करें? क्या 4 की दो जड़ें एक साथ हैं? आखिरकार, यदि हम संख्या -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें 4 भी मिलता है। फिर $\sqrt(4)=-2$ क्यों नहीं लिखा जाता है? और शिक्षक ऐसे अभिलेखों को क्यों देखते हैं जैसे कि वे आपको खाना चाहते हैं? :)

परेशानी यह है कि यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं लगाई जाती हैं, तो चारों के दो वर्गमूल होंगे - सकारात्मक और नकारात्मक। और किसी भी धनात्मक संख्या में भी उनमें से दो होंगे। लेकिन ऋणात्मक संख्याओं की जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी - इसे उसी ग्राफ से देखा जा सकता है, क्योंकि परवलय कभी भी अक्ष से नीचे नहीं गिरता है आप, अर्थात। नकारात्मक मान नहीं लेता है।

एक समान घातांक वाली सभी जड़ों के लिए एक समान समस्या होती है:

1. कड़ाई से बोलते हुए, प्रत्येक सकारात्मक संख्या की दो जड़ें एक सम घातांक $n$ के साथ होंगी;
2. ऋणात्मक संख्याओं से, सम $n$ वाला मूल बिल्कुल भी नहीं निकाला जाता है।

यही कारण है कि एक सम रूट $n$ की परिभाषा विशेष रूप से यह निर्धारित करती है कि उत्तर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होना चाहिए। इस तरह हम अस्पष्टता से छुटकारा पाते हैं।

लेकिन विषम $n$ के लिए ऐसी कोई समस्या नहीं है। इसे देखने के लिए, आइए $y=((x)^(3))$ फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें:

इस ग्राफ से दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. एक घन परवलय की शाखाएँ, सामान्य के विपरीत, दोनों दिशाओं में अनंत तक जाती हैं - ऊपर और नीचे दोनों। इसलिए, हम जितनी भी ऊंचाई पर एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं, यह रेखा निश्चित रूप से हमारे ग्राफ के साथ प्रतिच्छेद करेगी। इसलिए, घनमूल हमेशा किसी भी संख्या से लिया जा सकता है;
2. इसके अलावा, ऐसा चौराहा हमेशा अद्वितीय होगा, इसलिए आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि किस संख्या को "सही" रूट पर विचार करना है, और कौन सा स्कोर करना है। यही कारण है कि एक विषम डिग्री के लिए जड़ों की परिभाषा एक की तुलना में सरल है (कोई गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता नहीं है)।

यह अफ़सोस की बात है कि अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में इन सरल बातों की व्याख्या नहीं की गई है। इसके बजाय, हमारा दिमाग सभी प्रकार की अंकगणितीय जड़ों और उनके गुणों के साथ उड़ने लगता है।

हां, मैं बहस नहीं करता: अंकगणितीय जड़ क्या है - आपको यह भी जानने की जरूरत है। और मैं इसके बारे में एक अलग पाठ में विस्तार से बात करूंगा। आज हम इसके बारे में भी बात करेंगे, क्योंकि इसके बिना $n$-th बहुलता की जड़ों पर सभी प्रतिबिंब अधूरे होंगे।

लेकिन पहले आपको ऊपर दी गई परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है। नहीं तो शब्दों की अधिकता के कारण आपके दिमाग में ऐसी गड़बड़ शुरू हो जाएगी कि अंत में आपको कुछ समझ ही नहीं आएगा।

और आपको केवल सम और विषम संख्याओं के बीच का अंतर समझने की आवश्यकता है। इसलिए, एक बार फिर हम वह सब कुछ एकत्र करेंगे जो आपको वास्तव में जड़ों के बारे में जानने की आवश्यकता है:

1. एक सम मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है और स्वयं हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। ऋणात्मक संख्याओं के लिए, ऐसा मूल अपरिभाषित होता है।
2. लेकिन एक विषम डिग्री की जड़ किसी भी संख्या से मौजूद होती है और स्वयं कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक संख्याओं के लिए यह सकारात्मक है, और नकारात्मक संख्याओं के लिए, जैसा कि कैप संकेत देता है, यह नकारात्मक है।

क्या यह कठिन है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है। स्पष्ट? हाँ, यह स्पष्ट है! इसलिए, अब हम गणनाओं के साथ थोड़ा अभ्यास करेंगे।

मूल गुण और सीमाएं

जड़ों में बहुत सारे अजीब गुण और प्रतिबंध हैं - यह एक अलग सबक होगा। इसलिए, अब हम केवल सबसे महत्वपूर्ण "चिप" पर विचार करेंगे, जो केवल एक समान घातांक वाली जड़ों पर लागू होता है। हम इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\बाएं| एक्स\दाएं|\]

दूसरे शब्दों में, यदि हम किसी संख्या को सम घात तक बढ़ाते हैं, और फिर उसमें से उसी अंश का मूल निकालते हैं, तो हमें मूल संख्या नहीं, बल्कि उसका मापांक प्राप्त होगा। यह एक सरल प्रमेय है जिसे साबित करना आसान है (यह अलग से गैर-ऋणात्मक $x$ पर विचार करने के लिए पर्याप्त है, और फिर अलग से नकारात्मक लोगों पर विचार करें)। शिक्षक लगातार इसके बारे में बात करते हैं, यह हर स्कूल की पाठ्यपुस्तक में दिया जाता है। लेकिन जैसे ही अपरिमेय समीकरण (अर्थात मूलांक वाले समीकरण) को हल करने की बात आती है, छात्र इस सूत्र को एक साथ भूल जाते हैं।

इस मुद्दे को विस्तार से समझने के लिए, आइए एक मिनट के लिए सभी सूत्रों को भूल जाएं और दो संख्याओं को आगे गिनने का प्रयास करें:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

यह बहुत ही सरल उदाहरण. पहला उदाहरण अधिकांश लोगों द्वारा हल किया जाएगा, लेकिन दूसरे पर, कई छड़ी। बिना किसी समस्या के ऐसी किसी भी बकवास को हल करने के लिए, हमेशा प्रक्रिया पर विचार करें:

1. सबसे पहले, संख्या को चौथी शक्ति तक बढ़ाया जाता है। खैर, यह आसान है। एक नया नंबर प्राप्त होगा, जो गुणन तालिका में भी पाया जा सकता है;
2. और अब इस नए नंबर से फोर्थ डिग्री का रूट निकालना जरूरी है। वे। जड़ों और डिग्री की कोई "कमी" नहीं है - ये अनुक्रमिक क्रियाएं हैं।

आइए पहली अभिव्यक्ति से निपटें: $\sqrt(((3)^(4)))$। जाहिर है, आपको पहले रूट के तहत अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

फिर हम संख्या 81 की चौथी जड़ निकालते हैं:

अब दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करते हैं। सबसे पहले, हम संख्या −3 को चौथी घात तक बढ़ाते हैं, जिसके लिए हमें इसे स्वयं से 4 गुना गुणा करना होगा:

\[((\बाएं(-3 \दाएं))^(4))=\बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \ बाएं (-3 \ दाएं) = 81 \]

हमें एक सकारात्मक संख्या मिली, क्योंकि उत्पाद में कुल माइनस 4 टुकड़े हैं, और वे सभी एक दूसरे को रद्द कर देंगे (आखिरकार, माइनस बाय माइनस एक प्लस देता है)। अगला, फिर से जड़ निकालें:

सिद्धांत रूप में, यह पंक्ति नहीं लिखी जा सकती थी, क्योंकि यह कोई दिमाग नहीं है कि उत्तर वही होगा। वे। समान शक्ति की एक समान जड़ भी मिनस को "जलती" है, और इस अर्थ में परिणाम सामान्य मॉड्यूल से अप्रभेद्य है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(((3)^(4)))=\बाएं| 3\दाएं|=3; \\ और \sqrt(((\बाएं(-3 \दाएं))^(4)))=\बाएं| -3 \दाएं|=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

ये गणनाएँ सम अंश के मूल की परिभाषा के साथ अच्छी तरह से मेल खाती हैं: परिणाम हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, और मूलांक के संकेत के तहत भी, हमेशा नहीं होता है ऋणात्मक संख्या. अन्यथा, रूट परिभाषित नहीं है।

संचालन के क्रम पर ध्यान दें

1. संकेतन $\sqrt(((a)^(2)))$ का अर्थ है कि हम पहले संख्या $a$ का वर्ग करते हैं, और फिर परिणामी मूल्य का वर्गमूल लेते हैं। इसलिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या हमेशा मूल चिह्न के नीचे बैठती है, क्योंकि $((a)^(2))\ge 0$ वैसे भी;
2. लेकिन नोटेशन $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, इसके विपरीत, इसका मतलब है कि हम पहले एक निश्चित संख्या $a$ से रूट निकालते हैं और उसके बाद ही परिणाम को स्क्वायर करते हैं। इसलिए, किसी भी स्थिति में $a$ की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती - यह परिभाषा में सन्निहित एक अनिवार्य आवश्यकता है।

इस प्रकार, किसी भी मामले में किसी को भी बिना सोचे-समझे जड़ों और डिग्री को कम नहीं करना चाहिए, जिससे मूल अभिव्यक्ति को "सरल" माना जाता है। क्योंकि यदि मूल के नीचे ऋणात्मक संख्या हो और उसका घातांक सम हो, तो हमें बहुत सारी समस्याएँ होंगी।

हालाँकि, ये सभी समस्याएँ केवल सम संकेतकों के लिए प्रासंगिक हैं।

मूल चिह्न के नीचे से ऋण चिह्न हटाना

स्वाभाविक रूप से, विषम घातांक वाली जड़ों की भी अपनी विशेषता होती है, जो सिद्धांत रूप में, यहां तक ​​कि लोगों के लिए भी मौजूद नहीं होती है। अर्थात्:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

संक्षेप में, आप एक विषम डिग्री की जड़ों के चिह्न के नीचे से एक ऋण निकाल सकते हैं। यह बहुत ही उपयोगी संपत्ति, जो आपको सभी minuses को "फेंकने" की अनुमति देता है:

\[\शुरू (संरेखित) और \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ और \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(संरेखित)\]

यह सरल गुण कई गणनाओं को बहुत सरल करता है। अब आपको चिंता करने की ज़रूरत नहीं है: क्या होगा अगर एक नकारात्मक अभिव्यक्ति जड़ के नीचे आ गई, और जड़ की डिग्री सम हो गई? यह जड़ों के बाहर सभी माइनस को "बाहर फेंकने" के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद उन्हें एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है और आम तौर पर कई संदिग्ध चीजें करते हैं, जो "क्लासिक" जड़ों के मामले में हमें एक की ओर ले जाने की गारंटी है। त्रुटि।

और यहाँ एक और परिभाषा दृश्य में प्रवेश करती है - वही जिसके साथ अधिकांश स्कूल तर्कहीन अभिव्यक्तियों का अध्ययन शुरू करते हैं। और जिसके बिना हमारा तर्क अधूरा होगा। मिलना!

अंकगणितीय जड़

आइए एक पल के लिए मान लें कि केवल सकारात्मक संख्याएं या चरम मामलों में, शून्य मूल चिह्न के नीचे हो सकता है। आइए सम / विषम संकेतकों पर स्कोर करें, ऊपर दी गई सभी परिभाषाओं पर स्कोर करें - हम केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करेंगे। तो क्या?

और फिर हम अंकगणितीय जड़ प्राप्त करते हैं - यह आंशिक रूप से हमारी "मानक" परिभाषाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है, लेकिन फिर भी उनसे भिन्न होता है।

परिभाषा। एक गैर-ऋणात्मक संख्या $a$ की $n$th डिग्री की अंकगणितीय जड़ एक गैर-ऋणात्मक संख्या $b$ है, जैसे कि $((b)^(n))=a$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें अब समानता में कोई दिलचस्पी नहीं है। इसके बजाय, एक नया प्रतिबंध सामने आया: कट्टरपंथी अभिव्यक्ति अब हमेशा गैर-नकारात्मक होती है, और मूल भी गैर-नकारात्मक होता है।

यह समझने के लिए कि अंकगणितीय मूल सामान्य से कैसे भिन्न होता है, पहले से परिचित वर्ग और घन परवलय के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, अब से, हम केवल उन ग्राफ़ के टुकड़ों में रुचि रखते हैं जो पहली समन्वय तिमाही में स्थित हैं - जहां निर्देशांक $x$ और $y$ सकारात्मक (या कम से कम शून्य) हैं। अब आपको यह समझने के लिए संकेतक को देखने की आवश्यकता नहीं है कि हमारे पास ऋणात्मक संख्या को रूट करने का अधिकार है या नहीं। क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं को अब सैद्धांतिक रूप से नहीं माना जाता है।

आप पूछ सकते हैं: "ठीक है, हमें इस तरह की जाली परिभाषा की आवश्यकता क्यों है?" या: "हम ऊपर दी गई मानक परिभाषा के अनुसार क्यों नहीं मिल सकते?"

खैर, मैं सिर्फ एक संपत्ति दूंगा, जिससे नई परिभाषा उपयुक्त हो जाती है। उदाहरण के लिए, घातांक नियम:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

कृपया ध्यान दें: हम रूट एक्सप्रेशन को किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं और साथ ही रूट एक्सपोनेंट को उसी घात से गुणा कर सकते हैं - और परिणाम समान संख्या में होगा! यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

अच्छा, इसमें गलत क्या है? हम इसे पहले क्यों नहीं कर सके? यहाँ पर क्यों। एक सरल व्यंजक पर विचार करें: $\sqrt(-2)$ एक संख्या है जो हमारे शास्त्रीय अर्थों में काफी सामान्य है, लेकिन अंकगणितीय मूल के दृष्टिकोण से बिल्कुल अस्वीकार्य है। आइए इसे रूपांतरित करने का प्रयास करें:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ और \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले मामले में, हमने रेडिकल के नीचे से माइनस निकाल लिया (हमारे पास हर अधिकार है, क्योंकि संकेतक विषम है), और दूसरे में, हमने उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया। वे। गणित की दृष्टि से सब कुछ नियमों के अनुसार होता है।

डब्ल्यूटीएफ?! एक ही संख्या धनात्मक और ऋणात्मक दोनों कैसे हो सकती है? बिलकुल नहीं। यह सिर्फ इतना है कि घातांक सूत्र, जो सकारात्मक संख्याओं और शून्य के लिए बहुत अच्छा काम करता है, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में पूर्ण विधर्म देना शुरू कर देता है।

यहाँ, ऐसी अस्पष्टता से छुटकारा पाने के लिए, वे अंकगणितीय जड़ों के साथ आए। एक अलग बड़ा पाठ उन्हें समर्पित है, जहाँ हम उनके सभी गुणों पर विस्तार से विचार करते हैं। तो अब हम उन पर ध्यान नहीं देंगे - सबक वैसे भी बहुत लंबा निकला।

बीजीय जड़: उन लोगों के लिए जो अधिक जानना चाहते हैं

मैंने बहुत देर तक सोचा: इस विषय को एक अलग पैराग्राफ में बनाया जाए या नहीं। अंत में, मैंने यहां से जाने का फैसला किया। यह सामग्री उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो जड़ों को और भी बेहतर समझना चाहते हैं - अब औसत "स्कूल" स्तर पर नहीं, बल्कि ओलंपियाड के करीब के स्तर पर।

तो: एक संख्या से $n$-th डिग्री की जड़ की "शास्त्रीय" परिभाषा और सम और विषम संकेतकों में संबंधित विभाजन के अलावा, एक और "वयस्क" परिभाषा है, जो समता पर निर्भर नहीं करती है और अन्य सूक्ष्मताएँ बिल्कुल। इसे बीजगणितीय जड़ कहते हैं।

परिभाषा। किसी भी $a$ का बीजगणितीय $n$-th रूट सभी संख्याओं $b$ का समुच्चय होता है, जैसे कि $((b)^(n))=a$। ऐसी जड़ों के लिए कोई अच्छी तरह से स्थापित पदनाम नहीं है, इसलिए बस शीर्ष पर पानी का छींटा डालें:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

पाठ की शुरुआत में दी गई मानक परिभाषा से मूलभूत अंतर यह है कि बीजगणितीय मूल एक विशिष्ट संख्या नहीं है, बल्कि एक सेट है। और चूँकि हम वास्तविक संख्याओं के साथ कार्य कर रहे हैं, यह समुच्चय केवल तीन प्रकार का है:

1. खाली सेट। तब होता है जब ऋणात्मक संख्या से सम अंश का बीजगणितीय मूल ज्ञात करना आवश्यक होता है;
2. एकल तत्व से मिलकर बना एक सेट। विषम शक्तियों की सभी जड़ें, साथ ही शून्य से सम घातों की जड़ें, इस श्रेणी में आती हैं;
3. अंत में, सेट में दो नंबर शामिल हो सकते हैं - वही $((x)_(1))$ और $((x)_(2))=-((x)_(1))$ जो हमने उस पर देखा था चार्ट द्विघात समारोह। तदनुसार, ऐसा संरेखण तभी संभव है जब किसी धनात्मक संख्या से सम अंश का मूल निकाला जाए।

अंतिम मामला अधिक विस्तृत विचार का पात्र है। आइए अंतर को समझने के लिए कुछ उदाहरण गिनें।

उदाहरण। अभिव्यक्ति की गणना करें:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

समाधान। पहली अभिव्यक्ति सरल है:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

यह दो संख्याएँ हैं जो समुच्चय का भाग हैं। क्योंकि उनमें से प्रत्येक वर्ग एक चार देता है।

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

यहाँ हम एक समुच्चय देखते हैं जिसमें केवल एक संख्या होती है। यह काफी तार्किक है, क्योंकि मूल का घातांक विषम है।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

हमें एक खाली सेट मिला है। क्योंकि एक भी वास्तविक संख्या नहीं है, जिसे चौथे (अर्थात, सम!) घात तक बढ़ाए जाने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या −16 प्राप्त होगी।

अंतिम नोट। कृपया ध्यान दें: यह संयोग से नहीं था कि मैंने हर जगह नोट किया कि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं। क्योंकि जटिल संख्याएँ भी हैं - $\sqrt(-16)$ और कई अन्य अजीब चीजों की गणना करना काफी संभव है।

हालाँकि, गणित के आधुनिक स्कूली पाठ्यक्रम में, सम्मिश्र संख्याएँ लगभग कभी नहीं पाई जाती हैं। उन्हें अधिकांश पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है क्योंकि हमारे अधिकारी इस विषय को "समझने में बहुत कठिन" मानते हैं।

बस इतना ही। अगले पाठ में, हम मूल के सभी प्रमुख गुणों को देखेंगे और अंत में अपरिमेय व्यंजकों को सरल बनाना सीखेंगे। :)

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एनएच डिग्री की जड़ के गुण। प्रमेय"

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nth डिग्री की जड़ के गुण। प्रमेयों

प्रमेय 1. दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का nवां मूल इन संख्याओं के nवें मूल के गुणनफल के बराबर होता है: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ वर्ग [एन] (बी) $।

आइए प्रमेय सिद्ध करें।
सबूत। दोस्तों, प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, आइए नए चरों का परिचय दें, निरूपित करें:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
हमें यह सिद्ध करना होगा कि $x=y*z$.
ध्यान दें कि निम्नलिखित पहचान भी रखती हैं:
$ए*बी=एक्स^एन$।
$ ए = वाई ^ एन $।
$ बी = जेड ^ एन $।
फिर निम्नलिखित पहचान भी रखती है: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$।
दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं की डिग्री और उनके घातांक बराबर हैं, तो डिग्री के आधार स्वयं समान हैं। इसलिए $x=y*z$, जिसे साबित करना आवश्यक था।

प्रमेय 2। अगर $a≥0$, $b>0$ और n 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या है, तो निम्नलिखित समानता रखती है: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](ए))(\sqrt[n](b))$.

अर्थात्, भागफल का nवाँ मूल nवें मूल के भागफल के बराबर होता है।

सबूत।
इसे साबित करने के लिए, हम तालिका के रूप में एक सरलीकृत योजना का उपयोग करते हैं:

nवें मूल की गणना के उदाहरण

उदाहरण।
गणना करें: $\sqrt(7\frac(19)(32))$।
समाधान। आइए एक अनुचित अंश के रूप में कट्टरपंथी अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करें: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$।
आइए प्रमेय 2 का प्रयोग करें: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$।

उदाहरण।
गणना करें:
ए) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$।
बी) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$।
समाधान:
ए) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
बी) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

प्रमेय 3. यदि $a≥0$, k और n 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो समानता सत्य है: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$।

एक प्राकृतिक शक्ति के लिए एक जड़ को ऊपर उठाने के लिए, इस शक्ति के लिए कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को बढ़ाने के लिए पर्याप्त है।

सबूत।
आइए $k=3$ के लिए एक विशेष मामले पर विचार करें। आइए प्रमेय 1 का प्रयोग करें।
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
किसी अन्य मामले के लिए भी यही साबित किया जा सकता है। दोस्तों, जब $k=4$ और $k=6$ मामले के लिए इसे स्वयं साबित करें।

प्रमेय 4. अगर $a≥0$ b n,k 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्याएं हैं, तो समानता सत्य है: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$।

जड़ से जड़ निकालने के लिए, जड़ों के घातांक को गुणा करना पर्याप्त है।

सबूत।
आइए तालिका का उपयोग करके फिर से संक्षेप में साबित करें। इसे साबित करने के लिए, हम तालिका के रूप में एक सरलीकृत योजना का उपयोग करते हैं:

उदाहरण।
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

प्रमेय 5. यदि मूल और मूल व्यंजक के सूचकांकों को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

सबूत।
हमारे प्रमेय के प्रमाण का सिद्धांत अन्य उदाहरणों की तरह ही है। आइए नए चर पेश करें:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (परिभाषा के अनुसार)।
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (परिभाषा के अनुसार)।
हम सत्ता के लिए अंतिम समानता बढ़ाते हैं p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$।
प्राप्त:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$।
यानी, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, जिसे साबित किया जाना था।

उदाहरण:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5 से विभाजित)।
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2 से विभाजित)।
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 से गुणा)।

उदाहरण।
क्रियाएँ चलाएँ: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$।
समाधान।
रूट घातांक हैं अलग संख्या, इसलिए हम प्रमेय 1 का उपयोग नहीं कर सकते हैं, लेकिन प्रमेय 5 को लागू करने पर हम समान घातांक प्राप्त कर सकते हैं।
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 से गुणा)।
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 से गुणा)।
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य