एक पूर्णांक द्वारा अंशों का विभाजन। समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना

§ 87. अंशों का जोड़।

भिन्नों को जोड़ने में पूर्ण संख्याओं को जोड़ने में कई समानताएँ होती हैं। अंशों का जोड़ एक ऐसी क्रिया है जिसमें कई दी गई संख्याएँ (पद) एक संख्या (योग) में संयोजित होती हैं, जिसमें सभी इकाइयाँ और शब्दों की इकाइयों के अंश होते हैं।

हम बदले में तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।
2. भिन्नों को जोड़ना विभिन्न भाजक.
3. मिश्रित संख्याओं का जोड़।

1. समान हर वाले भिन्नों का जोड़।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5।

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग 2/5 एबी के बराबर होगा।

आरेखण से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD लेते हैं, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD सटीक रूप से खंडों AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन शर्तों और परिणामी राशि को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि योग का अंश शर्तों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और भाजक अपरिवर्तित रहे।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और समान भाजक को छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. विभिन्न भाजक वाले भिन्नों का जोड़।

आइए अंशों को जोड़ें: 3/4 + 3/8 सबसे पहले उन्हें सबसे कम सामान्य भाजक में कम करने की आवश्यकता है:

मध्यवर्ती लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सकता था; हमने इसे अधिक स्पष्टता के लिए यहां लिखा है।

इस प्रकार, अलग-अलग भाजक के साथ अंशों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य भाजक में लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संबंधित अंशों पर अतिरिक्त कारक लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का जोड़।

संख्याओं को जोड़ते हैं: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक आम भाजक में लाएँ और उन्हें फिर से लिखें:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

§ 88. अंशों का घटाव।

भिन्नों के घटाव को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं को घटाना। यह एक ऐसी क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक के योग को देखते हुए दूसरा पद प्राप्त किया जाता है। आइए तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करें:

1. समान भाजक वाले भिन्नों का घटाव।
2. विभिन्न भाजक वाले भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान भाजक वाले भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 समान भागों में विभाजित करें; तब इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए 4/15 AB के बराबर एक और खंड ED अलग रखें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि सेगमेंट ईडी को सेगमेंट एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE बना रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमारे द्वारा बनाए गए उदाहरण से पता चलता है कि अंतर का अंश अंशों को घटाकर प्राप्त किया गया था, और भाजक वही रहा।

इसलिए, समान भाजक वाले अंशों को घटाने के लिए, आपको घटाव के अंश को न्यूनतम के अंश से घटाना होगा और समान भाजक को छोड़ना होगा।

2. विभिन्न भाजक वाले भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे आम ​​भाजक में कम करें:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 - 5/8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन इसे भविष्य में छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, एक अंश से एक अंश को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे सामान्य भाजक में लाना होगा, फिर घटाव के अंश को न्यूनतम के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3/4 - 7 2/3।

आइए सबसे कम आम भाजक के लिए न्यूनतम और घटाव के भिन्नात्मक भागों को लाएं:

हमने एक पूर्ण से एक पूर्ण और एक भिन्न से एक भिन्न घटाया। लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब घटाव का भिन्नात्मक भाग न्यूनतम के भिन्नात्मक भाग से अधिक होता है। ऐसे मामलों में, आपको कम के पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की जरूरत है, इसे उन भागों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और कम के भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव पिछले उदाहरण की तरह ही किया जाएगा:

§ 89. अंशों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।
2. दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. एक पूर्ण संख्या का एक अंश से गुणा।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. ब्याज की अवधारणा।
7. दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए उन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ एक पूर्णांक द्वारा एक पूर्णांक को गुणा करने के समान है। एक अंश (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुण्य के बराबर है, और शब्दों की संख्या गुणक के बराबर है।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो इसे इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें परिणाम आसानी से मिल गया, क्योंकि कार्रवाई समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ने तक कम कर दी गई थी। इस तरह,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करना इस अंश को पूर्णांक में इकाइयों की संख्या के बराबर बढ़ाने के बराबर है। और चूँकि अंश में वृद्धि या तो अंश में वृद्धि करके प्राप्त की जाती है

या इसके भाजक को घटाकर , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या भाजक को इससे विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और भाजक को समान छोड़ना होगा, या यदि संभव हो तो, अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, इस संख्या से भाजक को विभाजित करें।

गुणा करते समय, संक्षिप्त रूप संभव हैं, उदाहरण के लिए:

2. दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी बहुत सी समस्याएँ हैं जिनमें आपको दी गई संख्या का एक भाग ज्ञात करना या परिकलित करना होता है। इन कार्यों और अन्य के बीच का अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे एक निश्चित अंश द्वारा भी इंगित किया जाता है। समझने में सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं का उदाहरण देंगे और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2।ट्रेन को शहर A और B के बीच की दूरी 300 किमी के बराबर तय करनी होगी। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3।गाँव में 400 घर हैं, जिनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कितने ईंट के घर हैं?

यहां ऐसी कई समस्याओं में से कुछ हैं जिनसे हमें किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए निपटना पड़ता है। उन्हें आमतौर पर दी गई संख्या का एक अंश खोजने के लिए समस्याएँ कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की कीमत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है:

समस्या 2 समाधान।समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी का 2/3 खोजने की आवश्यकता है। 300 के पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (यह 300 का 1/3 है)।

300 का दो-तिहाई पता लगाने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (यह 300 का 2/3 है)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो कि 400 का 3/4 है। आइए पहले 400 का 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (यह 400 का 1/4 है)।

400 के तीन चौथाई की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना किया जाना चाहिए, अर्थात 3 से गुणा किया जाना चाहिए:

100 x 3 = 300 (यह 400 का 3/4 है)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या के अंश का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. एक पूर्ण संख्या का एक अंश से गुणा।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान शब्दों (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) के जोड़ के रूप में समझा जाना चाहिए। इस पैराग्राफ (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि एक अंश को पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस अंश के बराबर समान शब्दों का योग ज्ञात करना।

दोनों ही मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम एक पूर्ण संख्या को एक भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणन: 9 2/3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले में लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम समान संख्याओं को जोड़कर ऐसे गुणन को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते।

इस वजह से, हमें गुणा की एक नई परिभाषा देनी होगी, यानी दूसरे शब्दों में, इस सवाल का जवाब देना होगा कि एक अंश से गुणा करके क्या समझा जाना चाहिए, इस क्रिया को कैसे समझा जाना चाहिए।

एक पूर्णांक को एक भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: एक पूर्णांक (गुणक) को एक अंश (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक के इस अंश को ज्ञात करना।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों का 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 के साथ समाप्त होते हैं।

लेकिन अब एक दिलचस्प और है महत्वपूर्ण सवाल: समान संख्याओं का योग ज्ञात करने और किसी संख्या का अंश ज्ञात करने जैसी अलग-अलग क्रियाओं को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को शब्दों के साथ कई बार दोहराना) और नई क्रिया (संख्या का भिन्न ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक और एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 4 मीटर कपड़े की कीमत कितनी होगी?

यह समस्या रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (4), यानी 50 x 4 = 200 (रूबल) से गुणा करके हल की जाती है।

आइए एक ही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 3/4 मीटर कपड़े की कीमत कितनी होगी?

मीटर की संख्या (3/4) से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके इस समस्या को भी हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना इसमें कई बार संख्याएँ भी बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर, आदि।

चूंकि इन समस्याओं की सामग्री समान है और केवल संख्याओं में भिन्न है, इसलिए हम उन्हें एक ही शब्द - गुणन को हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को कहते हैं।

एक पूर्ण संख्या को एक भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

पिछली समस्या में आई संख्याओं को लेते हैं:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 खोजना होगा। पहले हम 50 का 1/4 और फिर 3/4 पाते हैं।

50 का 1/4 50/4 है;

50 का 3/4 है।

इस तरह।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5/8 = ?

12 का 1/8 12/8 है,

संख्या 12 का 5/8 है।

इस तरह,

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

एक पूर्णांक को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को अंश के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में चिन्हित करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे § 38 में निर्धारित किया गया था

यह याद रखना चाहिए कि गुणा करने से पहले, आपको (यदि संभव हो) करना चाहिए कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।एक अंश को एक अंश से गुणा करने का वही अर्थ है जो एक पूर्णांक को एक अंश से गुणा करने पर होता है, अर्थात, जब एक अंश को एक अंश से गुणा करते हैं, तो आपको पहले अंश (गुणक) से गुणक में भिन्न को खोजने की आवश्यकता होती है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप एक भिन्न को एक भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

एक उदाहरण लेते हैं: 3/4 गुना 5/7. इसका मतलब है कि आपको 3/4 से 5/7 निकालने की जरूरत है। 3/4 का पहले 1/7 और फिर 5/7 ज्ञात करें

3/4 का 1/7 इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

एक अन्य उदाहरण: 5/8 गुना 4/9।

5/8 का 1/9 है,

4/9 नंबर 5/8 हैं।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है:

एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश और दूसरे गुणनफल को गुणनफल का हर बनाना होगा।

में यह नियम है सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय, (यदि संभव हो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित अंशों से बदला जा सकता है, इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुण्य, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, तब उन्हें अनुचित अंशों से बदल दिया जाता है। गुणा करें, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएँ: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित अंश में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी अंशों को एक अंश से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणन निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. ब्याज की अवधारणा।समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणना करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि कई मात्राएं कोई नहीं, बल्कि उनके लिए प्राकृतिक उपविभाजन स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक सौवां (1/100) रूबल ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां 2 कोपेक होगा, तीन सौवां 3 कोपेक होगा। आप रूबल का 1/10 ले सकते हैं, यह "10 kopecks, या एक पैसा होगा। आप रूबल का एक चौथाई ले सकते हैं, यानी 25 kopecks, आधा रूबल, यानी 50 kopecks (पचास kopecks)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन के लिए माप की इकाई, यानी किलोग्राम, सबसे पहले, दशमलव उपखंडों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम और किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/ 13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) उपाय दशमलव होते हैं और दशमलव उपखंडों की अनुमति देते हैं।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में उप-विभाजन की समान (समान) विधि का उपयोग करना अत्यंत उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इस तरह का एक न्यायोचित विभाजन "सौवाँ" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. पुस्तकों की कीमत पिछले मूल्य से 12/100 कम हो गई है।

उदाहरण। किताब की पिछली कीमत 10 रूबल है। वह 1 रूबल नीचे चली गई। 20 कोप।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 वर्ष के दौरान भुगतान करते हैं।

उदाहरण। कैश डेस्क में 500 रूबल डाले जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या कुल छात्रों की संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्रों ने अध्ययन किया, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या के सौवें भाग को प्रतिशत कहते हैं।.

शब्द "प्रतिशत" से लिया गया है लैटिनऔर इसकी जड़ "शत" का अर्थ एक सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से है कि प्रारंभ में प्राचीन रोम में ब्याज वह धन था जो ऋणी ने "हर सौ के लिए" ऋणदाता को भुगतान किया था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान उसके द्वारा उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान रिजेक्ट का एक प्रतिशत उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पादन किया।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग तरह से व्यक्त किया जा सकता है:

1. पुस्तकों के मूल्य में पिछले मूल्य के 12 प्रतिशत की कमी आई है।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का प्रति वर्ष 2 प्रतिशत भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल में सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के स्थान पर % चिन्ह लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिन्ह आमतौर पर गणनाओं में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ पूर्णांक के बजाय 100 के भाजक के साथ एक अंश लिखने की आवश्यकता होती है।

आपको निर्दिष्ट आइकन के साथ एक पूर्णांक को 100 के भाजक के साथ एक अंश के साथ बदलने में सक्षम होने की आवश्यकता है:

इसके विपरीत, आपको 100 के भाजक के साथ एक अंश के बजाय संकेतित आइकन के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालने की आवश्यकता है:

7. दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 क्यूबिक मीटर मिले। जलाऊ लकड़ी का मीटर, सन्टी जलाऊ लकड़ी के साथ 30% के लिए लेखांकन। कितनी बर्च की लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि बर्च जलाऊ लकड़ी केवल जलाऊ लकड़ी का एक हिस्सा था जिसे स्कूल में वितरित किया गया था, और यह हिस्सा 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया गया है। इसलिए, हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के कार्य का सामना करना पड़ता है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (संख्या के अंश को खोजने का कार्य एक संख्या को एक अंश से गुणा करके हल किया जाता है।)।

तो 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में 30/100 के अंश को 10 से कम किया जा सकता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा।

कार्य 2।कैंप में 300 बच्चे थे अलग अलग उम्र. 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21%, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% और अंत में 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात् क्रमशः 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात करें।

अतः, यहाँ पर किसी संख्या का तीन बार भिन्न ज्ञात करना आवश्यक होगा। चलो यह करते हैं:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 वर्ष के कितने बच्चे थे?

3) 13 वर्ष के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, प्राप्त संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस तथ्य पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि शिविर में बच्चों की कुल संख्या 100% ली गई थी।

3 एक दा च 3.कार्यकर्ता को प्रति माह 1,200 रूबल मिले। इनमें से उन्होंने 65% भोजन पर, 6% अपार्टमेंट और हीटिंग पर, 4% गैस, बिजली और रेडियो पर, 10% सांस्कृतिक जरूरतों पर और 15% उन्होंने बचाया। कार्य में बताई गई जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का भिन्न 5 बार ज्ञात करने की आवश्यकता है।चलिए इसे करते हैं।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च होता है? कार्य कहता है कि यह खर्च सभी कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। चलिए गणना करते हैं:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा चुकाया गया? पिछले वाले की तरह तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुँचते हैं:

3) आपने गैस, बिजली और रेडियो के लिए कितना पैसा चुकाया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कर्मचारी ने कितने पैसे बचाए?

सत्यापन के लिए इन 5 प्रश्नों में मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% के रूप में लिया जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशतों को जोड़कर जांचना आसान होता है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया है। इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, विभिन्न आयु के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) के बारे में थे, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दिए गए अंकों का कुछ प्रतिशत निकालना जरूरी था।

§ 90. अंशों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. एक पूर्णांक द्वारा एक अंश का विभाजन
3. एक पूर्णांक का एक अंश से विभाजन।
4. एक भिन्न का एक भिन्न से विभाजन।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।
6. किसी संख्या को उसके भिन्न दिए जाने पर ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए उन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों के खंड में संकेत दिया गया था, विभाजन इस तथ्य से युक्त क्रिया है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक और कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक द्वारा एक पूर्णांक का विभाजन हमने पूर्णांकों के विभाग में माना। हमें विभाजन के दो मामले मिले: शेष के बिना विभाजन, या "पूरी तरह से" (150: 10 = 15), और शेष के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के क्षेत्र में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का गुणनफल नहीं होता है। एक अंश द्वारा गुणन की शुरूआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 से 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7। एक और उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14।

इस प्रकार, पूर्णांक द्वारा पूर्णांक को विभाजित करने के लिए, आपको एक अंश बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश भाज्य के बराबर होता है, और भाजक भाजक होता है।

2. एक पूर्णांक द्वारा एक अंश का विभाजन।

अंश 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां उत्पाद (6/7) और कारकों में से एक (3) है; ऐसा दूसरा कारक खोजने की आवश्यकता है, जो 3 से गुणा करने पर, दिए गए गुणनफल को 6/7 देगा। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने निर्धारित कार्य अंश 6/7 को 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भिन्न का घटाना या तो उसके अंश को घटाकर या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

इस मामले में, अंश 6 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लें: 5 / 8 को 2 से विभाजित करें। यहाँ अंश 5 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि भाजक को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको अंश के अंश को उस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), समान हर छोड़कर, या अंश के अंश को छोड़कर, भिन्न के हर को इस संख्या से गुणा करें।

3. एक पूर्णांक का एक अंश से विभाजन।

इसे 5 को 1/2 से विभाजित करने की आवश्यकता है, यानी एक संख्या खोजें, जो 1/2 से गुणा करने के बाद, उत्पाद 5 देगी। जाहिर है, यह संख्या 5 से अधिक होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित अंश है, और जब किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा करते हैं, तो गुणनफल गुण्य से कम होना चाहिए। इसे और स्पष्ट करने के लिए, हम अपने कार्यों को इस प्रकार लिखते हैं: 5: 1/2 = एक्स , इसलिए x 1 / 2 \u003d 5।

हमें ऐसी संख्या का पता लगाना चाहिए एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होगा। चूंकि एक निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 है, और पूरी संख्या एक्स दो गुना ज्यादा, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1/2 = 5 2 = 10

की जाँच करें:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। इसे 6 को 2/3 से विभाजित करने की आवश्यकता है। आइए पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र 19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड AB में तीन-तिहाई (3/3) 6 गुना बड़ा है, अर्थात ई. 18/3। हम 2 के 18 प्राप्त खंडों को छोटे कोष्ठकों की सहायता से जोड़ते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब यह है कि अंश 2/3 b इकाइयों में 9 गुना समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, अंश 2/3 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। इस तरह,

केवल गणनाओं का उपयोग करके ड्राइंग के बिना यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात, इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले पता करें: 1/3 कितनी बार है 6 में निहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 18 बार बी इकाइयों में समाहित है, और 2/3 बी इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि कई बार आधा है, यानी 18: 2 = 9 इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित किया:

यहाँ से हमें एक पूर्णांक को एक भिन्न से भाग देने का नियम प्राप्त होता है। एक पूर्णांक को एक अंश से विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए अंश के भाजक से गुणा करना होगा और इस उत्पाद को अंश बनाकर, इसे दिए गए अंश के अंश से विभाजित करना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे § 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वही सूत्र वहां प्राप्त किया गया था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्त रूप संभव हैं, उदाहरण के लिए:

4. एक भिन्न का एक भिन्न से विभाजन।

बता दें कि 3/4 को 3/8 से विभाजित करना आवश्यक है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या निरूपित करेगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि अंश 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में निहित है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 20)।

खंड AB को एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड एसी खंड एबी के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चार प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधे में विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम 3 ऐसे खंडों को चाप से जोड़ते हैं, फिर प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। ड्राइंग से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर खंड में ठीक 2 बार समाहित है; अतः विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। इसे 15/16 को 3/32 से विभाजित करने की आवश्यकता है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है, जो 3/32 से गुणा करने के बाद, 15/16 के बराबर गुणनफल देगी। आइए गणनाओं को इस प्रकार लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात संख्या एक्स 15/16 बनाओ

1/32 अज्ञात संख्या एक्स है ,

32/32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इस तरह,

इस प्रकार, एक भिन्न को एक भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश और अंश बनाना होगा। दूसरा भाजक।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्त रूप संभव हैं, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित अंशों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी अंशों को भिन्नात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए। एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलने की आवश्यकता है और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करें।

6. किसी संख्या को उसके भिन्न दिए जाने पर ज्ञात करना।

भिन्नों पर विभिन्न कार्यों में कभी-कभी ऐसे कार्य भी होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी अंश का मान दिया जाता है और इस संख्या को ज्ञात करना आवश्यक होता है। इस प्रकार की समस्या दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का कुछ अंश ज्ञात करना आवश्यक था, यहाँ एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या को स्वयं ज्ञात करना आवश्यक है। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो कि निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या कहती है कि 50 चमकदार खिड़कियां घर की सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा बनाती हैं, जिसका मतलब है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियां हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियां थीं।

कार्य 2।दुकान ने 1,500 किलो आटा बेचा, जो दुकान में आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर की आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलो आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा। इस तरह,

500 8 \u003d 4,000 (किग्रा)।

स्टोर में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलो थी।

इस समस्या पर विचार करने से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है।

किसी संख्या को उसके अंश के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को अंश के अंश से विभाजित करना और परिणाम को अंश के भाजक से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने किसी संख्या को उसका भिन्न दिए जाने पर उसे ज्ञात करने पर दो समस्याओं को हल किया। इस तरह की समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणन (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, हमने भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करने के बाद, उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: एक भिन्न द्वारा विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस तरह एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में उसके भिन्न द्वारा संख्या ज्ञात करने की समस्या का समाधान करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानने के लिए एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।इस साल की शुरुआत में, मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक साल पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा लगाया? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मेरे द्वारा बचत बैंक में एक निश्चित राशि डाली गई और एक वर्ष के लिए वहाँ पड़ी रही। एक साल बाद मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा डाले गए धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे के हिस्से को जानते हुए, दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) व्यक्त किया गया, हमें पूरी, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसके भिन्न दिए जाने पर उसे ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्य विभाजन द्वारा हल किए जाते हैं:

तो, 3,000 रूबल बचत बैंक में डाल दिए गए।

कार्य 2।दो हफ्तों में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके मासिक योजना को 64% तक पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का कुछ भाग पूरा किया। यह हिस्सा 512 टन के बराबर है, जो योजना का 64% है। योजना के अनुसार कितने टन मछली काटे जाने की जरूरत है, हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3।ट्रेन रीगा से मास्को तक गई। जब उन्होंने 276 किलोमीटर की दूरी तय की, तो यात्रियों में से एक ने पासिंग कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हम पूरी यात्रा का 30% हिस्सा पहले ही कवर कर चुके हैं।" रीगा से मास्को की दूरी क्या है?

समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि रीगा से मास्को तक की यात्रा का 30% 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी का पता लगाने की जरूरत है, यानी, इस भाग के लिए, पूरे का पता लगाएं:

§ 91. पारस्परिक संख्या। भाग को गुणन से बदलना।

अंश 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 मिलता है। हमें एक अंश मिला है, इसका व्युत्क्रम।

किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको इसके अंश को भाजक के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए:

3/4, रिवर्स 4/3; 5/6, रिवर्स 6/5

दो भिन्न जिनमें यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर और पहले का हर दूसरे का अंश कहलाता है। परस्पर उलटा।

अब विचार करते हैं कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन-सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1, या सिर्फ 2 होगा। इसका व्युत्क्रम खोजने पर, हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अकेला नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी अंशों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, व्युत्क्रम 3; 1/5, उल्टा 5

चूँकि व्युत्क्रम खोजते समय हम पूर्णांकों से भी मिले थे, भविष्य में हम व्युत्क्रम के बारे में नहीं, बल्कि इसके बारे में बात करेंगे पारस्परिक.

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखा जाता है। अंशों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको अंश के स्थान पर भाजक लगाने की आवश्यकता है। उसी तरह, आप एक पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 1 का भाजक हो सकता है। इसलिए, 7 का व्युत्क्रम 1/7 होगा, क्योंकि 7 \u003d 7/1; संख्या 10 के लिए रिवर्स 1/10 है क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक को दी गई संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है. यह कथन केवल पूर्णांकों के लिए ही नहीं, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। वास्तव में, यदि आप एक संख्या लिखना चाहते हैं जो अंश 5/9 का व्युत्क्रम है, तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात।

अब एक का उल्लेख करते हैं संपत्तिपारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर पारस्परिक संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का प्रयोग करके हम निम्न प्रकार से व्युत्क्रम ज्ञात कर सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे पत्र से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1/8। आइए एक और संख्या खोजें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 7/12 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1:7 / 12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा को प्रस्तुत किया है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्न कार्य करते हैं:

अभिव्यक्ति पर विशेष ध्यान दें और इसकी तुलना दिए गए से करें: .

यदि हम पिछले एक के साथ संबंध के बिना अलग से अभिव्यक्ति लेते हैं, तो यह सवाल हल करना असंभव है कि यह कहां से आया: 6 को 3/5 से विभाजित करने या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों मामलों में नतीजा वही है। तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने के स्थान पर भाजक के व्युत्क्रम से भाज्य का गुणा किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह से पुष्टि करते हैं।

गणित के पाठ्यक्रम से विभिन्न कार्यों को हल करने के लिए भौतिकी को भिन्नों को विभाजित करना पड़ता है। यह करना बहुत आसान है यदि आप इस गणितीय संक्रिया को करने के कुछ नियमों को जानते हैं।

भिन्नों को विभाजित करने के तरीके पर एक नियम बनाने से पहले, आइए कुछ गणितीय शब्दों को याद करें:

1. किसी भिन्न के ऊपरी भाग को अंश और नीचे वाले भाग को हर कहा जाता है।
2. विभाजित करते समय, संख्याओं को इस प्रकार कहा जाता है: लाभांश: विभाजक \u003d भागफल

भिन्नों को कैसे विभाजित करें: साधारण भिन्न

दो साधारण अंशों को विभाजित करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम से भाज्य का गुणा करें। इस अंश को दूसरे तरीके से उलटा भी कहा जाता है, क्योंकि यह अंश और भाजक की अदला-बदली के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

भिन्नों को कैसे विभाजित करें: मिश्रित भिन्न

यदि हमें मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना है, तो यहाँ भी सब कुछ काफी सरल और स्पष्ट है। सबसे पहले, मिश्रित भिन्न को साधारण अनुचित भिन्न में बदलें। ऐसा करने के लिए, हम ऐसे भिन्न के हर को पूर्णांक से गुणा करते हैं और अंश को परिणामी गुणनफल में जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें मिश्रित अंश का एक नया अंश मिला, और इसका भाजक अपरिवर्तित रहेगा। आगे के अंशों का विभाजन उसी तरह से किया जाएगा जैसे साधारण अंशों का विभाजन। उदाहरण के लिए:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

किसी अंश को किसी संख्या से कैसे विभाजित करें

एक साधारण अंश को एक संख्या से विभाजित करने के लिए, बाद वाले को एक अंश (अनुचित) के रूप में लिखा जाना चाहिए। यह करना बहुत आसान है: यह संख्या अंश के स्थान पर लिखी जाती है, और ऐसे भिन्न का हर एक के बराबर होता है। आगे का विभाजन सामान्य तरीके से किया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

दशमलव को कैसे विभाजित करें

अक्सर, एक वयस्क को कठिनाई होती है, यदि आवश्यक हो, कैलकुलेटर की सहायता के बिना, पूर्णांक या दशमलव अंश को दशमलव अंश में विभाजित करने के लिए।

इसलिए, दशमलव अंशों को विभाजित करने के लिए, आपको केवल विभाजक में अल्पविराम को पार करना होगा और उस पर ध्यान देना बंद करना होगा। विभाज्य में, अल्पविराम को ठीक उतने ही वर्णों के दाईं ओर ले जाना चाहिए जितने कि भाजक के भिन्नात्मक भाग में थे, यदि आवश्यक हो तो शून्य जोड़ दें। और फिर एक पूर्णांक द्वारा सामान्य विभाजन का उत्पादन करें। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए निम्नलिखित उदाहरण लें।

विभाजन है। इस लेख में हम बात करेंगे विभाजन साधारण अंश . सर्वप्रथम, हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम देंगे और भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरण देखेंगे। इसके बाद, हम एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से और एक संख्या को एक भिन्न से विभाजित करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे। अंत में, विचार करें कि एक साधारण अंश का विभाजन कैसे किया जाता है मिश्रित संख्या.

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एक सामान्य अंश का एक सामान्य अंश से विभाजन

यह ज्ञात है कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम है (विभाजन और गुणन के बीच संबंध देखें)। अर्थात्, विभाजन में अज्ञात कारक खोजना शामिल है जब उत्पाद और अन्य कारक ज्ञात हों। साधारण अंशों को विभाजित करते समय विभाजन की समान भावना को संरक्षित किया जाता है।

साधारण भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरणों पर विचार करें।

ध्यान दें कि हमें अंशों की कमी और अनुचित भिन्न से पूर्णांक भाग के चयन के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

एक सामान्य अंश का एक प्राकृतिक संख्या से विभाजन

हम इसे तुरंत देंगे एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का नियम: अंश a / b को एक प्राकृतिक संख्या n से विभाजित करने के लिए, आपको अंश को समान छोड़ने की आवश्यकता है, और भाजक को n से गुणा करें, अर्थात।

यह विभाजन नियम साधारण अंशों के लिए विभाजन नियम से सीधे अनुसरण करता है। दरअसल, एक प्राकृतिक संख्या का एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व निम्नलिखित समानता की ओर जाता है .

एक अंश को एक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

अंश 16/45 को प्राकृतिक संख्या 12 से विभाजित करें।

समाधान।

एक अंश को एक संख्या से विभाजित करने के नियम से, हमारे पास है . आइए करते हैं कमी: . यह विभाजन पूरा हो गया है।

उत्तर:

.

एक सामान्य अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या का विभाजन

भिन्नों को विभाजित करने का नियम समान है एक प्राकृतिक संख्या को एक सामान्य अंश से विभाजित करने का नियम: एक प्राकृतिक संख्या n को एक साधारण अंश a / b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या n को अंश a / b के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

आवाज वाले नियम के अनुसार, और एक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण अंश से गुणा करने का नियम आपको इसे फॉर्म में फिर से लिखने की अनुमति देता है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 25 को भिन्न 15/28 से विभाजित करें।

समाधान।

भाग से गुणन की ओर बढ़ते हैं, हमारे पास है . घटाव और पूर्णांक भाग का चयन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

उत्तर:

.

मिश्रित संख्या से एक आम अंश का विभाजन

मिश्रित संख्या से एक आम अंश का विभाजनसाधारण अंशों के विभाजन में आसानी से कम हो जाता है। ऐसा करने के लिए, यह करने के लिए पर्याप्त है

एक अंश एक पूरे का एक या अधिक भाग होता है, जिसे आमतौर पर एक इकाई (1) के रूप में लिया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप अंशों (जोड़, घटाव, भाग, गुणन) के साथ सभी बुनियादी अंकगणितीय संचालन कर सकते हैं, इसके लिए आपको अंशों के साथ काम करने की विशेषताओं को जानने और उनके प्रकारों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। कई प्रकार के भिन्न होते हैं: दशमलव और साधारण, या सरल। प्रत्येक प्रकार के अंशों की अपनी विशिष्टताएँ होती हैं, लेकिन एक बार जब आप अच्छी तरह से समझ जाते हैं कि एक बार उनसे कैसे निपटना है, तो आप भिन्नों के साथ किसी भी उदाहरण को हल करने में सक्षम होंगे, क्योंकि आप अंशों के साथ अंकगणितीय गणना करने के मूल सिद्धांतों को जानेंगे। आइए उदाहरणों पर गौर करें कि एक अंश को एक पूर्णांक से कैसे विभाजित किया जाए अलग - अलग प्रकारअंश।

दशमलव को पूर्णांक से कैसे विभाजित करें?
एक दशमलव अंश एक अंश है जो एक इकाई को दस, एक हजार और इसी तरह भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। दशमलव अंशों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ काफी सरल हैं।

एक अंश को पूर्णांक से विभाजित करने के तरीके के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हमें दशमलव अंश 0.925 को प्राकृतिक संख्या 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है।

• अलग अलग करना दशमलव अंशएक स्तंभ में विभाजन एक प्राकृतिक संख्या पर लागू होता है;
  
• एक अल्पविराम निजी में रखा जाता है जब लाभांश के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है।
  

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों का जोड़ और घटाव" देखें)। उन क्रियाओं में सबसे कठिन क्षण भिन्नों को एक आम भाजक में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये ऑपरेशन जोड़ और घटाव से भी आसान हैं। आरंभ करने के लिए, विचार करें सबसे सरल मामला, जब एक विशिष्ट पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक अंश होते हैं।

दो भिन्नों का गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए अंश का अंश होगी, और दूसरी संख्या भाजक होगी।

दो अंशों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करना होगा।

पद का नाम:

परिभाषा से यह इस प्रकार है कि अंशों का विभाजन गुणा करने के लिए घटाया जाता है। किसी भिन्न को फ़्लिप करने के लिए, केवल अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक घटा हुआ अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - बेशक, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि, सभी कटौती के बाद, अंश गलत निकला, तो इसमें पूरे भाग को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए। लेकिन गुणा के साथ वास्तव में क्या नहीं होगा एक आम भाजक में कमी: कोई क्रॉसवाइड तरीके नहीं, अधिकतम कारक और कम से कम सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

एक पूर्णांक भाग और नकारात्मक अंशों के साथ अंशों का गुणन

यदि अंशों में एक पूर्णांक भाग है, तो उन्हें अनुचित में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो, तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन की सीमा से बाहर या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस बार माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, इन नियमों का सामना केवल नकारात्मक अंशों को जोड़ने और घटाने के दौरान ही किया जाता था, जब पूरे भाग से छुटकारा पाने की आवश्यकता होती थी। एक उत्पाद के लिए, उन्हें एक साथ कई मिन्यूज़ "बर्न" करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जाते, तब तक हम जोड़े में माइनस को पार करते हैं। एक चरम मामले में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जो एक मैच नहीं मिला;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम माइनस को पार नहीं किया गया है, क्योंकि उसे एक जोड़ी नहीं मिली, हम इसे गुणन की सीमा से बाहर कर देते हैं। आपको एक नकारात्मक अंश मिलता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

हम सभी अंशों को अनुचित में अनुवादित करते हैं, और फिर हम गुणन की सीमा से बाहर के ऋणों को निकालते हैं। जो बचता है उसे सामान्य नियमों के अनुसार गुणा किया जाता है। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग वाले अंश से पहले आने वाला माइनस विशेष रूप से पूरे अंश को संदर्भित करता है, न कि केवल इसके पूर्णांक भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

पर भी ध्यान दें नकारात्मक संख्या: जब गुणा किया जाता है, तो उन्हें कोष्ठकों में बंद कर दिया जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि माइनस को गुणन चिह्नों से अलग किया जा सके और पूरे अंकन को अधिक सटीक बनाया जा सके।

मक्खी पर अंशों को कम करना

गुणन एक बहुत ही श्रमसाध्य ऑपरेशन है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और कार्य को आसान बनाने के लिए, आप अंश को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, अंशों के अंश और हर सामान्य कारक हैं, और इसलिए, उन्हें एक अंश की मूल संपत्ति का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ घटाई गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग से चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। इकाइयाँ अपने स्थान पर बनी रहीं, जिन्हें सामान्यतया छोड़ा जा सकता है। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणनाओं की कुल राशि अभी भी घट गई।

हालाँकि, किसी भी स्थिति में भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय इस तकनीक का उपयोग न करें! हां, कभी-कभी समान संख्याएं होती हैं जिन्हें आप केवल कम करना चाहते हैं। यहाँ देखें:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि अंश जोड़ते समय, योग भिन्न के अंश में दिखाई देता है, न कि संख्याओं के गुणनफल में। इसलिए, एक अंश की मुख्य संपत्ति को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह संपत्ति विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

अंशों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस तरह दिखता है:

सही उपाय:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर इतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर, सावधान रहें।