حل مفصل للوغاريتمات. المبادئ العامة للحل

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، هذه العملية تسمى اللوغاريتم. أولاً ، سنتعامل مع حساب اللوغاريتمات بالتعريف. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك ، سوف نتعمق في حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المعطاة في البداية للوغاريتمات الأخرى. أخيرًا ، دعنا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات بالتعريف

في أبسط الحالات ، من الممكن الأداء بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم بالتعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في الشكل أ ج ، ومن ثم ، من خلال تعريف اللوغاريتم ، فإن الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، أن إيجاد اللوغاريتم يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b = log a a c = c.

لذلك ، فإن حساب اللوغاريتم ، بالتعريف ، ينخفض ​​إلى إيجاد مثل هذا الرقم c الذي هو c \ u003d b ، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

بالنظر إلى المعلومات الواردة في الفقرات السابقة ، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من أساس اللوغاريتم ، يمكنك على الفور الإشارة إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعنا نعرض الأمثلة.

مثال.

أوجد اللوغاريتم 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي لـ e 5.3.

المحلول.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن log 2 2 −3 = −3. في الواقع ، الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل ، نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 = 5.3.

إجابه:

سجل 2 2 −3 = 3 و lne 5.3 = 5.3.

إذا لم يتم إعطاء الرقم ب الموجود أسفل علامة اللوغاريتم باعتباره قوة أساس اللوغاريتم ، فأنت بحاجة إلى التفكير بعناية فيما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم ب في الشكل أ ج. غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا ، خاصةً عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1 أو 2 أو 3 ، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و.

المحلول.

من السهل أن ترى أن 25 = 5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة لـ 7: (انظر إذا لزم الأمر). لذلك، .

دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك رؤية ذلك ، ومن أين نستنتج ذلك . لذلك ، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

إجابه:

سجل 5 25 = 2 ، و .

عندما يكون عدد طبيعي كبير بدرجة كافية تحت علامة اللوغاريتم ، فلا يضر تحليله إلى العوامل الأولية. غالبًا ما يساعد في تمثيل مثل هذا الرقم مثل بعض قوة أساس اللوغاريتم ، وبالتالي لحساب هذا اللوغاريتم بالتعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

المحلول.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1 = log a 0 = 0 and log a a = log a 1 = 1. أي عندما يكون الرقم 1 أو الرقم أ تحت علامة اللوغاريتم ، يساوي أساس اللوغاريتم ، ففي هذه الحالات يكون اللوغاريتمات 0 و 1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات و lg10؟

المحلول.

منذ ذلك الحين ، فإنه يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني ، يتطابق الرقم 10 الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته ، لذا فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا ، أي lg10 = lg10 1 = 1.

إجابه:

و lg10 = 1.

لاحظ أن اللوغاريتمات الحاسوبية بالتعريف (التي ناقشناها في الفقرة السابقة) تعني استخدام سجل المساواة أ أ ع = ص ، وهي إحدى خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية ، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لعدد ما ، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة ، والذي يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد اللوغاريتم ، يوضح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب لوغاريتم.

المحلول.

إجابه:

.

يتم استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في الحساب أيضًا ، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من حيث اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات في حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي من حيث لوغاريتم آخر ، تُعرف قيمته. لنأخذ مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعلم أن log 2 3≈1.584963 ، فيمكننا إيجاد ، على سبيل المثال ، log 2 6 بإجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6 = سجل 2 (2 3) = سجل 2 2 + سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه ، كان يكفي لنا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك ، غالبًا ما يتعين عليك استخدام ترسانة أكبر من خصائص اللوغاريتمات من أجل حساب اللوغاريتم الأصلي من حيث اللوغاريتمات المعطاة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كان معروفًا أن log 60 2 = a و log 60 5 = b.

المحلول.

إذن علينا إيجاد log 60 27. من السهل ملاحظة أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي ، بسبب خاصية لوغاريتم الدرجة ، يمكن إعادة كتابته على النحو 3 · log 60 3.

لنر الآن كيف يمكن التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. تتيح لك خاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس كتابة سجل المساواة 60 60 = 1. من ناحية أخرى ، log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = سجل 60 2 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5. في هذا الطريق، 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 1. لذلك، السجل 60 3 = 1−2 السجل 60 2 − السجل 60 5 = 1−2 أ − ب.

أخيرًا ، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

إجابه:

السجل 60 27 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

بشكل منفصل ، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة لوغاريتم النموذج . يسمح لك بالانتقال من اللوغاريتمات مع أي قاعدة إلى لوغاريتمات ذات قاعدة محددة ، وقيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ، من اللوغاريتم الأصلي ، وفقًا لصيغة الانتقال ، يتحولون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10 ، نظرًا لوجود جداول من اللوغاريتمات لهذه القواعد تسمح بحساب قيمها بدرجة معينة من الدقة. في القسم التالي ، سوف نوضح كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخداماتها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات ، يمكن للمرء استخدام جداول اللوغاريتم. الأكثر استخدامًا هو جدول اللوغاريتم الأساسي 2 وجدول اللوغاريتم الطبيعي وجدول اللوغاريتم العشري. عند العمل في نظام الأرقام العشري ، من الملائم استخدام جدول اللوغاريتمات للأساس عشرة. بمساعدتها ، سوف نتعلم كيفية إيجاد قيم اللوغاريتمات.

يسمح الجدول المقدم ، بدقة تبلغ واحدًا على عشرة آلاف ، بالعثور على قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1.000 إلى 9.999 (بثلاثة منازل عشرية). سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية باستخدام مثال محدد - إنه أوضح. لنجد lg1،256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256 ، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق للتوضيح). الرقم الثالث من الرقم 1.256 (الرقم 5) موجود في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المميزة (يتم تمييز هذه الأرقام البرتقالي). مجموع الأرقام المميزة يعطي القيمة المطلوبة اللوغاريتم العشريحتى أربع منازل عشرية ، أي السجل 1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

هل من الممكن ، باستخدام الجدول أعلاه ، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد الفاصلة العشرية ، وكذلك تجاوز الحدود من 1 إلى 9.999؟ نعم تستطيع. دعنا نوضح كيف يتم ذلك بمثال.

لنحسب lg102.76332. أولا تحتاج إلى الكتابة الرقم في الشكل القياسي: 102.76332 = 1.0276332 10 2. بعد ذلك ، يجب تقريب الجزء العشري لأقرب منزلة عشرية ثالثة ، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج ، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. الآن قم بتطبيق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. أخيرًا ، نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقًا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. نتيجة لذلك ، تبدو عملية حساب اللوغاريتم بالكامل كما يلي: lg102.76332 = lg1.0276332 10 2 ميكرو جرام 1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية ، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك ، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية ، والعثور على قيمها في الجدول ، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال ، لنحسب السجل 2 3. وفقًا لصيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم ، لدينا. من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. في هذا الطريق، .

فهرس.

• كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
• Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

كلنا نعرف المعادلات. مدرسة ابتدائية. حتى هناك تعلمنا حل أبسط الأمثلة ، ويجب الاعتراف بأنهم وجدوا تطبيقها حتى في الرياضيات العليا. كل شيء بسيط مع المعادلات ، بما في ذلك المربعات. إذا كانت لديك مشاكل مع هذا الموضوع ، فإننا نوصي بشدة بإعادة تجربته.

لوغاريتمات ربما تكون قد مررت بالفعل أيضًا. ومع ذلك ، فإننا نعتبر أنه من المهم أن نحدد ما هو بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون حتى الآن. اللوغاريتم يساوي القوة التي يجب رفع القاعدة إليها للحصول على الرقم على يمين علامة اللوغاريتم. دعنا نعطي مثالًا ، بناءً على ذلك ، سيصبح كل شيء واضحًا لك.

إذا رفعت 3 مرفوعًا للقوة الرابعة ، تحصل على 81. الآن استبدل الأرقام بالقياس ، وستفهم أخيرًا كيفية حل اللوغاريتمات. الآن يبقى فقط الجمع بين المفهومين المدروسين. في البداية ، يبدو الوضع صعبًا للغاية ، ولكن عند الفحص الدقيق ، يتراجع الوزن في مكانه. نحن على يقين من أنه بعد هذه المقالة القصيرة لن تواجهك أية مشاكل في هذا الجزء من الامتحان.

اليوم ، هناك العديد من الطرق لحل مثل هذه الهياكل. سنتحدث عن أبسطها وأكثرها فعالية والأكثر قابلية للتطبيق في حالة مهام الاستخدام. يجب أن يبدأ حل المعادلات اللوغاريتمية بأبسط مثال. تتكون أبسط المعادلات اللوغاريتمية من دالة ومتغير واحد فيها.

من المهم ملاحظة أن x داخل السعة. يجب أن يكون A و b عددًا. في هذه الحالة ، يمكنك ببساطة التعبير عن الدالة بدلالة عدد في قوة. تبدو هكذا.

بالطبع سيقودك حل المعادلة اللوغاريتمية بهذه الطريقة إلى الإجابة الصحيحة. لكن مشكلة الغالبية العظمى من الطلاب في هذه الحالة هي أنهم لا يفهمون ماذا وأين يأتي. نتيجة لذلك ، عليك أن تتحمل الأخطاء ولا تحصل على النقاط المطلوبة. سيكون الخطأ الأكثر هجومًا هو خلط الأحرف في بعض الأماكن. لحل المعادلة بهذه الطريقة ، تحتاج إلى حفظ صيغة المدرسة القياسية هذه ، لأنه من الصعب فهمها.

لتسهيل الأمر ، يمكنك اللجوء إلى طريقة أخرى - الشكل المتعارف عليه. الفكرة بسيطة للغاية. انتبه للمهمة مرة أخرى. تذكر أن الحرف a هو رقم وليس دالة أو متغير. أ لا يساوي واحدًا وأكبر من صفر. لا توجد قيود على ب. الآن من بين جميع الصيغ ، نتذكر واحدة. يمكن التعبير عن B على النحو التالي.

ويترتب على ذلك أن جميع المعادلات الأصلية مع اللوغاريتمات يمكن تمثيلها على النحو التالي:

الآن يمكننا تجاهل اللوغاريتمات. والنتيجة هي بناء بسيط رأيناه سابقًا.

تكمن راحة هذه الصيغة في حقيقة أنه يمكن استخدامها في مجموعة متنوعة من الحالات ، وليس فقط لأبسط التصميمات.

لا تقلق بشأن OOF!

سيلاحظ العديد من علماء الرياضيات ذوي الخبرة أننا لم نعر اهتمامًا لمجال التعريف. تتلخص القاعدة في حقيقة أن F (x) بالضرورة أكبر من 0. لا ، لم نفوت هذه اللحظة. الآن نحن نتحدث عن ميزة جدية أخرى للشكل الكنسي.

لن يكون هناك جذور إضافية هنا. إذا كان المتغير سيحدث في مكان واحد فقط ، فلن يكون النطاق ضروريًا. يتم تشغيله تلقائيًا. للتحقق من هذا الحكم ، فكر في حل بعض الأمثلة البسيطة.

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية ذات الأسس المختلفة

هذه معادلات لوغاريتمية معقدة بالفعل ، ويجب أن يكون نهج حلها خاصًا. هنا نادرًا ما يكون من الممكن حصر أنفسنا بالشكل الكنسي سيئ السمعة. لنبدأ قصتنا التفصيلية. لدينا البناء التالي.

لاحظ الكسر. يحتوي على اللوغاريتم. إذا رأيت هذا في المهمة ، فمن الجدير أن تتذكر خدعة واحدة مثيرة للاهتمام.

ماذا يعني ذلك؟ يمكن التعبير عن كل لوغاريتم في صورة حاصل قسمة لوغاريتمين بأساس مناسب. وهذه الصيغة لها حالة خاصة تنطبق على هذا المثال (نعني إذا كان c = b).

هذا هو بالضبط ما نراه في مثالنا. في هذا الطريق.

في الواقع ، لقد قلبوا الكسر وحصلوا على تعبير أكثر ملاءمة. تذكر هذه الخوارزمية!

نحتاج الآن إلى أن المعادلة اللوغاريتمية لا تحتوي على أسس مختلفة. لنمثل القاعدة في صورة كسر.

في الرياضيات ، توجد قاعدة ، بناءً عليها ، يمكنك الحصول على الدرجة من القاعدة. اتضح البناء التالي.

يبدو الآن أنه ما الذي يمنعنا من تحويل تعبيرنا إلى شكل أساسي وحلها بشكل أساسي؟ ليس بسيط جدا. يجب ألا يكون هناك كسور قبل اللوغاريتم. دعونا نصلح هذا الوضع! يُسمح بأخذ جزء كدرجة.

على التوالى.

إذا كانت الأسس هي نفسها ، فيمكننا إزالة اللوغاريتمات ومساواة التعبيرات نفسها. لذلك سيصبح الوضع أسهل بكثير مما كان عليه. ستكون هناك معادلة أولية يعرف كل منا كيفية حلها في الصف الثامن أو السابع. يمكنك إجراء الحسابات بنفسك.

لقد حصلنا على الجذر الحقيقي الوحيد لهذه المعادلة اللوغاريتمية. أمثلة حل معادلة لوغاريتمية بسيطة جدًا ، أليس كذلك؟ ستتمكن الآن من التعامل بشكل مستقل مع أصعب المهام المتعلقة بالتحضير للامتحان واجتيازه.

ما هي النتيجة؟

في حالة أي معادلة لوغاريتمية ، نبدأ من واحدة جدًا قاعدة مهمة. من الضروري التصرف بطريقة تجعل التعبير في أبسط أشكاله. في هذه الحالة ، سيكون لديك المزيد من الفرص ليس فقط لحل المشكلة بشكل صحيح ، ولكن أيضًا للقيام بذلك بأبسط الطرق وأكثرها منطقية. هذه هي الطريقة التي يعمل بها علماء الرياضيات دائمًا.

لا نوصي بشدة بالبحث عن المسارات الصعبة ، خاصة في هذه الحالة. تذكر بعض القواعد البسيطة التي تسمح لك بتحويل أي تعبير. على سبيل المثال ، أحضر لوغاريتمين أو ثلاثة إلى نفس القاعدة ، أو خذ قوة من القاعدة واربح عليها.

من الجدير بالذكر أيضًا أنه في حل المعادلات اللوغاريتمية ، يجب أن تتدرب باستمرار. تدريجيًا ، ستنتقل إلى المزيد والمزيد من الهياكل المعقدة ، وسيقودك ذلك إلى حل جميع الخيارات المتعلقة بالمشكلات في الامتحان بثقة. استعد لامتحاناتك في وقت مبكر ، ونتمنى لك التوفيق!

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةلتحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

لوغاريتم رقم موجب ب للقاعدة أ (أ> 0 ، أ لا يساوي 1) هو رقم ج مثل أن ج = ب: سجل أب = ج ⇔ أس = ب (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب > 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

لاحظ أنه لم يتم تعريف لوغاريتم الرقم غير الموجب. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يكون أساس اللوغاريتم رقم موجب، عدد إيجابي، والتي لا تساوي 1. على سبيل المثال ، إذا قمنا بتربيع -2 ، فسنحصل على الرقم 4 ، لكن هذا لا يعني أن لوغاريتم الأساس -2 للعدد 4 هو 2.

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

من المهم أن تختلف مجالات تعريف الجزأين الأيمن والأيسر من هذه الصيغة. يتم تحديد الجانب الأيسر فقط لـ b> 0 و a> 0 و a 1. الجزء الأيمنتم تعريفه لأي b ، ولكنه لا يعتمد على a على الإطلاق. وبالتالي ، فإن تطبيق "الهوية" اللوغاريتمية الأساسية في حل المعادلات وعدم المساواة يمكن أن يؤدي إلى تغيير في DPV.

نتيجتان واضحتان لتعريف اللوغاريتم

في الواقع ، عند رفع الرقم a إلى القوة الأولى ، نحصل على نفس العدد ، وعند رفعه إلى الأس صفر ، نحصل على واحد.

لوغاريتم المنتج ولوغاريتم حاصل القسمة

السجل أ ب ج = السجل أ ب - السجل أ ج (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب> 0 ، ج> 0) (6)

أود أن أحذر تلاميذ المدارس من الاستخدام الطائش لهذه الصيغ عند حل المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة. عند استخدامها "من اليسار إلى اليمين" ، يضيق ODZ ، وعند الانتقال من مجموع أو اختلاف اللوغاريتمات إلى لوغاريتم المنتج أو حاصل القسمة ، يتم توسيع ODZ.

في الواقع ، يتم تعريف التعبير log a (f (x) g (x)) في حالتين: عندما تكون كلتا الوظيفتين موجبة تمامًا أو عندما تكون f (x) و g (x) أقل من الصفر.

بتحويل هذا التعبير إلى مجموع log a f (x) + log a g (x) ، نحن مجبرون على تقييد أنفسنا فقط بالحالة عندما تكون f (x)> 0 و g (x)> 0. هناك تضيق في المنطقة القيم المسموح بها، وهذا مرفوض بشكل قاطع ، لأنه يمكن أن يؤدي إلى ضياع الحلول. توجد مشكلة مماثلة للصيغة (6).

يمكن إخراج الدرجة من علامة اللوغاريتم

ومرة أخرى أود أن أطالب بالدقة. ضع في اعتبارك المثال التالي:

السجل أ (و (س) 2 = 2 سجل أ و (س)

من الواضح أن الجانب الأيسر من المساواة محدد لجميع قيم f (x) باستثناء الصفر. الجانب الأيمن فقط لـ f (x)> 0! بإخراج القوة من اللوغاريتم ، نقوم مرة أخرى بتضييق مساحة ODZ. يؤدي الإجراء العكسي إلى توسيع نطاق القيم المقبولة. كل هذه الملاحظات لا تنطبق فقط على قوة 2 ، ولكن أيضًا على أي قوة متساوية.

صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة

تلك الحالة النادرة عندما لا يتغير ODZ أثناء التحويل. إذا اخترت القاعدة c بحكمة (موجبة ولا تساوي 1) ، فإن صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة تكون آمنة تمامًا.

إذا اخترنا الرقم b كأساس جديد c ، فإننا نحصل على حالة معينة مهمة من الصيغة (8):

السجل أ ب = 1 السجل ب أ (أ> 0 ، أ ≠ 1 ، ب> 0 ، ب ≠ 1) (9)

بعض الأمثلة البسيطة مع اللوغاريتمات

مثال 1 احسب: lg2 + lg50.
المحلول. lg2 + lg50 = lg100 = 2. استخدمنا صيغة مجموع اللوغاريتمات (5) وتعريف اللوغاريتم العشري.

مثال 2 احسب: lg125 / lg5.
المحلول. lg125 / lg5 = log 5 125 = 3. استخدمنا صيغة الانتقال الأساسية الجديدة (8).

جدول الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات

اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، يمكن إضافتها وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: السجل أ xوتسجيل أ ذ. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

1. سجل أ x+ سجل أ ذ= سجل أ (x · ذ);
2. سجل أ xسجل أ ذ= سجل أ (x : ذ).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 - log 2 3.

الأسس هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
السجل 2 48 - السجل 2 3 = السجل 2 (48: 3) = السجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3135 - log 3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
السجل 3135 - السجل 3 5 = السجل 3 (135: 5) = السجل 3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: أ > 0, أ ≠ 1, x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

[شرح الشكل]

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 2 4؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

لنلق نظرة الآن على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس العدد: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم سجل أ x. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1 ، المساواة صحيحة:

[شرح الشكل]

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا ج = x، نحن نحصل:

[شرح الشكل]

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبادل قاعدة اللوغاريتم ووسيطته ، لكن التعبير بأكمله "قلب" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 5 16 log 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ؛ سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2 سجل 2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ:

في الحالة الأولى ، الرقم نيصبح الأس للحجة. عدد نيمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق ، لأنه مجرد قيمة اللوغاريتم.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. إنها تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا كان الرقم برفع إلى السلطة بحيث بإلى هذا الحد يعطي عددًا أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل معادلات التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

[شرح الشكل]

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - أخرج المربع من قاعدة اللوغاريتم وسعة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من الامتحان :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. سجل أ أ= 1 هي الوحدة اللوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس أمن هذه القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
2. سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن أ 0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.