كيف تحل نظام المعادلات التفاضلية؟

من المفترض أن القارئ يعرف بالفعل كيفية حل المعادلات التفاضلية جيدًا ، على وجه الخصوص ، معادلات متجانسة من الدرجة الثانيةو معادلات الدرجة الثانية غير المتجانسةمع معاملات ثابتة. لا يوجد شيء معقد حول أنظمة المعادلات التفاضلية ، وإذا كنت واثقًا من أنواع المعادلات المذكورة أعلاه ، فلن يكون إتقان الأنظمة أمرًا صعبًا.

هناك نوعان رئيسيان من أنظمة المعادلات التفاضلية:

- النظم الخطية المتجانسة للمعادلات التفاضلية
- الأنظمة الخطية غير المتجانسة للمعادلات التفاضلية

وطريقتان رئيسيتان لحل نظام المعادلات التفاضلية:

- طريقة الاستبعاد. جوهر الطريقة هو أنه أثناء حل نظام المعادلات التفاضلية يتم تقليله إلى معادلة تفاضلية واحدة.

- استخدام المعادلة المميزة(ما يسمى بطريقة أويلر).

في الغالبية العظمى من الحالات ، يجب حل نظام المعادلات التفاضلية بالطريقة الأولى. الطريقة الثانية في ظروف المشكلات أقل شيوعًا ، في جميع ممارستي ، قمت بحل 10-20 نظامًا على الأكثر. لكننا سننظر فيه أيضًا بإيجاز في الفقرة الأخيرة من هذه المقالة.

أعتذر على الفور عن عدم اكتمال المادة نظريًا ، لكن من ناحية أخرى ، قمت بتضمين الدرس فقط تلك المهام التي يمكن مواجهتها فعليًا في الممارسة. ما يقع في زخات النيازك مرة كل خمس سنوات ، من غير المحتمل أن تجده هنا ، ومع مثل هذه المفاجآت ، يجب أن تلجأ إلى الطوب المخصص للناشرات.

أنظمة خطية متجانسة من المعادلات التفاضلية

أبسط نظام متجانس للمعادلات التفاضلية له الشكل التالي:

في الواقع ، تقتصر جميع الأمثلة العملية تقريبًا على مثل هذا النظام =)

ماذا هنالك؟

هي أرقام (معاملات عددية). الأرقام الأكثر شيوعًا. على وجه الخصوص ، قد يكون واحدًا أو عدة معاملات أو حتى كلها صفراً. لكن نادرًا ما يتم إلقاء مثل هذه الهدايا ، وبالتالي فإن الأرقام غالبًا لا تساوي الصفر.

ووظائف غير معروفة. يعمل المتغير كمتغير مستقل - إنه "مثل x في معادلة تفاضلية عادية".

و هما أول مشتقات دوال مجهولة و على التوالي.

ماذا يعني حل نظام المعادلات التفاضلية؟

هذا يعني أن تجد مثلوظائف وهذا يرضي والأول والثانيمعادلة النظام. كما ترى ، فإن المبدأ مشابه جدًا للمعتاد أنظمة المعادلات الخطية. فقط هناك الجذور هي الأعداد ، وها هي الوظائف.

الإجابة التي تم العثور عليها مكتوبة كـ الحل العام لنظام المعادلات التفاضلية:

بين قوسين مجعد!هذه المهام هي "في فريق واحد".

بالنسبة لنظام التحكم عن بعد ، يمكنك حل مشكلة Cauchy ، أي العثور على الحل الخاص للنظام، واستيفاء الشروط الأولية المعينة. حل معين للنظام مكتوب أيضًا بأقواس معقوفة.

بشكل أكثر إحكاما ، يمكن إعادة كتابة النظام على النحو التالي:

لكن تقليديًا ، يكون الحل باستخدام المشتقات المكتوبة في التفاضل أكثر شيوعًا ، لذا يرجى التعود على الرموز التالية على الفور:
وهي مشتقات من الدرجة الأولى ؛
وهي مشتقات من الدرجة الثانية.

مثال 1

حل مسألة كوشي لنظام المعادلات التفاضلية بالشروط الأولية.

المحلول:في المشكلات ، يحدث النظام غالبًا في ظروف أولية ، لذا فإن جميع أمثلة هذا الدرس تقريبًا ستكون مع مشكلة كوشي. لكن هذا لا يهم ، لأن قرار مشتركعلى طول الطريق ، لا يزال عليك أن تجد.

لنحل النظام طريقة القضاء. أذكرك أن جوهر الطريقة هو اختزال النظام إلى معادلة تفاضلية واحدة. وفيما يتعلق بالمعادلات التفاضلية ، أتمنى أن تحلها جيدًا.

خوارزمية الحل قياسية:

1) نأخذ المعادلة الثانية للنظامونعبر عنها:

سنحتاج إلى هذه المعادلة قرب نهاية الحل ، وسأضع علامة النجمة عليها. في الكتب المدرسية ، يحدث أنها تأتي عبر 500 رمز ، ثم تشير إلى: "وفقًا للصيغة (253) ..." ، وابحث عن هذه الصيغة في مكان ما خلف 50 صفحة. سأقتصر على علامة واحدة (*).

2) اشتق على طرفي المعادلة الناتجة:

مع "السكتات الدماغية" تبدو العملية كما يلي:

من المهم أن تكون هذه النقطة البسيطة واضحة ، ولن أسهب فيها أكثر.

3) بديل و في المعادلة الأولى للنظام:

ودعنا نبسط قدر الإمكان:

حصل على الأكثر عادية معادلة متجانسة من الدرجة الثانيةمع معاملات ثابتة. مع "ضربات" يتم كتابتها على النحو التالي: .

- يتم الحصول على جذور حقيقية مختلفة ، لذلك:
.

تم العثور على إحدى الوظائف ، في منتصف الطريق.

نعم ، يرجى ملاحظة أننا حصلنا على معادلة مميزة بمميز "جيد" ، مما يعني أننا لم نخطئ في أي شيء في الاستبدال والتبسيط.

4) نذهب للوظيفة. للقيام بذلك ، نأخذ الوظيفة التي تم العثور عليها بالفعل والعثور على مشتقها. نحن نفرق من خلال:

بديل وفي المعادلة (*):

أو أقصر:

5) تم العثور على كلتا الوظيفتين ، نكتب الحل العام للنظام:

إجابه:حل خاص:

من السهل جدًا التحقق من الإجابة المستلمة ، ويمكننا التحقق منها في ثلاث خطوات:

1) تحقق مما إذا كانت الشروط الأولية راضية حقًا:

تم استيفاء كلا الشرطين الأوليين.

2) دعنا نتحقق مما إذا كانت الإجابة التي تم العثور عليها تفي بالمعادلة الأولى للنظام.

نأخذ دالة من الإجابة والعثور على مشتقها:

بديل ، و في المعادلة الأولى للنظام:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الإجابة التي تم العثور عليها تفي بالمعادلة الأولى للنظام.

3) تحقق مما إذا كانت الإجابة تفي بالمعادلة الثانية للنظام

نأخذ دالة من الإجابة ونجد مشتقها:

بديل ، و في المعادلة الثانية للنظام:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الإجابة التي تم العثور عليها تفي بالمعادلة الثانية للنظام.

اكتمل التحقق. ما الذي يتم فحصه؟ يتم التحقق من استيفاء الشروط الأولية. والأهم من ذلك ، حقيقة أن الحل وجد حلًا معينًا استوفي لكلمعادلة النظام الأصلية .

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يتحقق من الحل العام ، سيكون الشيك أقصر ، لأنه ليس من الضروري التحقق من استيفاء الشروط الأولية.

الآن دعنا نعود إلى النظام الذي تم حله ونطرح بضعة أسئلة. بدأ الحل على هذا النحو: أخذنا المعادلة الثانية للنظام وعبرنا عنها. وهل كان من الممكن التعبير ليس "س" ، ولكن "ص"؟ إذا عبرنا عن ذلك ، فلن يعطينا هذا أي شيء - في هذا التعبير على اليمين يوجد كل من "y" و "x" ، لذلك لن نتمكن من التخلص من المتغير واختزال حل النظام إلى حل معادلة تفاضلية واحدة.

السؤال الثاني. هل كان من الممكن بدء الحل ليس من الثانية ، ولكن من المعادلة الأولى للنظام؟ يستطيع. ننظر إلى المعادلة الأولى للنظام:. يوجد فيه اثنان "x" وواحد "y" ، لذلك من الضروري التعبير بدقة عن "y" من خلال "x": . التالي هو المشتق الأول: . ثم يجب أن تحل محل و في المعادلة الثانية للنظام. سيكون الحل مكافئًا تمامًا ، مع الاختلاف الذي سنجده أولاً ثم بعد ذلك.

وبالنسبة للطريقة الثانية فقط ، سيكون هناك مثال على قرار مستقل:

مثال 2

أوجد حلاً خاصًا لنظام المعادلات التفاضلية الذي يفي بالشروط الأولية المحددة.

في حل العينة ، الذي يتم تقديمه في نهاية الدرس ، يتم التعبير عن المعادلة الأولى والرقص كله يبدأ من هذا التعبير. حاول إجراء حل مرآة بشكل مستقل نقطة تلو الأخرى ، دون النظر إلى العينة.

يمكنك أيضًا السير في طريق المثال رقم 1 - من المعادلة الثانية ، صريح (لاحظ أنه يجب التعبير عن "x"). لكن هذه الطريقة أقل منطقية ، لأننا حصلنا على كسر ، وهو أمر غير ملائم للغاية.

أنظمة خطية غير متجانسة من المعادلات التفاضلية

تقريبًا نفس الشيء ، سيكون الحل فقط أطول إلى حد ما.

النظام غير المتجانس من المعادلات التفاضلية ، والذي يمكن أن تواجهه في معظم الحالات في مشاكل ، له الشكل التالي:

بالمقارنة مع النظام المتجانس ، تضيف كل معادلة بالإضافة إلى ذلك بعض الوظائف التي تعتمد على "te". يمكن أن تكون الدوال ثوابت (وواحدة منها على الأقل غير صفرية) ، وأس ، وجيب ، وجيب التمام ، وما إلى ذلك.

مثال 3

أوجد حلاً خاصًا لنظام DE الخطي المطابق للشروط الأولية المحددة

المحلول:تم إعطاء نظام خطي غير متجانس من المعادلات التفاضلية ، تعمل الثوابت على أنها "مواد مضافة". نحن نستخدم طريقة القضاء، بينما يتم الاحتفاظ بخوارزمية الحل نفسها تمامًا. من أجل التغيير ، سأبدأ بالمعادلة الأولى فقط.

1) من المعادلة الأولى للنظام نعبر عن:

هذا شيء مهم ، لذا سأضع علامة النجمة مرة أخرى. من الأفضل عدم فتح الأقواس ، لماذا الكسور الزائدة؟

ومرة أخرى ، لاحظ أنه يتم التعبير عن "y" تحديدًا من المعادلة الأولى - من خلال اثنين "x" وثابت.

2) التفريق فيما يتعلق بكلا الجزأين:

اختفى الثابت (الثلاثي) بسبب حقيقة أن مشتق الثابت يساوي صفرًا.

3) البديل و في المعادلة الثانية للنظام :

بعد الاستبدال مباشرة ، يُنصح بالتخلص من الكسور ، لذلك نقوم بضرب كل جزء من المعادلة في 5:

الآن نجعل التبسيط:

نتيجة ل، معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الثانيةمع معاملات ثابتة. هذا ، في الواقع ، هو الاختلاف الكامل عن حل نظام متجانس من المعادلات ، الذي تمت مناقشته في الفقرة السابقة.

ملاحظة: مع ذلك ، في النظام غير المتجانس ، يمكن أحيانًا الحصول على معادلة متجانسة.

دعونا نجد الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة:

نؤلف ونحل المعادلة المميزة:

- يتم الحصول على جذور معقدة مترافقة ، لذلك:
.

تبين أن جذور المعادلة المميزة "جيدة" مرة أخرى ، مما يعني أننا على الطريق الصحيح.

نحن نبحث عن حل معين لمعادلة غير متجانسة في الشكل.
لنجد المشتقين الأول والثاني:

استبدل في الجانب الأيسر من المعادلة غير المتجانسة:

في هذا الطريق:

وتجدر الإشارة إلى أن حلًا معينًا يتم اختياره بسهولة شفهيًا ، ومن المقبول تمامًا الكتابة بدلاً من الحسابات الطويلة: "من الواضح ، حل معين لمعادلة غير متجانسة:".

نتيجة ل:

4) نحن نبحث عن وظيفة. أولاً ، نجد مشتق الوظيفة الموجودة بالفعل:

ليس لطيفًا بشكل خاص ، ولكن غالبًا ما يجب العثور على مشتقات مماثلة في الاختلافات.

العاصفة على قدم وساق ، والآن سيكون هناك العمود التاسع. اربط نفسك بالسطح بحبل.

بديل
وفي المعادلة (*):

5) الحل العام للنظام:

6) ابحث عن حل معين يتوافق مع الشروط الأولية :

أخيرًا ، حل خاص:

كما ترى ، يا لها من قصة بنهاية سعيدة ، يمكنك الآن الإبحار بلا خوف على متن قوارب في بحر هادئ تحت أشعة الشمس اللطيفة.

إجابه:حل خاص:

بالمناسبة ، إذا بدأت في حل هذا النظام من المعادلة الثانية ، فستصبح الحسابات أسهل بكثير (يمكنك المحاولة) ، لكن العديد من زوار الموقع طلبوا تفكيك أشياء أكثر صعوبة. كيف ترفض؟ =) فليكن هناك أمثلة أكثر جدية.

مثال يسهل حله بنفسك:

مثال 4

ابحث عن حل معين لنظام خطي غير متجانس من المعادلات التفاضلية المقابلة لشروط أولية معينة

تم حل هذه المشكلة من قبلي وفقًا لمثال المثال رقم 1 ، أي ، تم التعبير عن "x" من المعادلة الثانية. الحل والجواب في نهاية الدرس.

في الأمثلة التي تم النظر فيها ، لم يكن من قبيل المصادفة أنني استخدمت رموزًا مختلفة ، وطبقت حلولًا مختلفة. لذلك ، على سبيل المثال ، تمت كتابة المشتقات في نفس المهمة بثلاث طرق:. في الرياضيات العليا ، لا داعي للخوف من كل أنواع التمايل ، فالشيء الرئيسي هو فهم خوارزمية الحل.

طريقة المعادلة المميزة(طريقة أويلر)

كما لوحظ في بداية المقال ، نادرًا ما تكون هناك حاجة إلى نظام المعادلات التفاضلية ليتم حلها باستخدام المعادلة المميزة ، لذلك في الفقرة الأخيرة سأفكر في مثال واحد فقط.

مثال 5

إعطاء نظام خطي متجانس من المعادلات التفاضلية

أوجد الحل العام لنظام المعادلات باستخدام المعادلة المميزة

المحلول:ننظر إلى نظام المعادلات ونؤلف محددًا من الدرجة الثانية:

بأي مبدأ يتكون المحدد ، أعتقد أن الجميع يستطيع أن يرى.

دعونا نجعل معادلة مميزة ، لهذا ، من كل رقم يقع على قطري رئيسي، اطرح بعض المعلمات:

في نسخة نظيفة ، بالطبع ، يجب عليك كتابة المعادلة المميزة على الفور ، وأشرحها بالتفصيل ، خطوة بخطوة ، حتى يتضح ما جاء منها.

فتح المحدد:

وإيجاد الجذور معادلة من الدرجة الثانية:

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذرين حقيقيين مختلفين، فإن الحل العام لنظام المعادلات التفاضلية له الشكل:

نحن نعلم بالفعل المعاملات في الأسس ، ويبقى إيجاد المعاملات

1) ضع في اعتبارك الجذر واستبدله في المعادلة المميزة:

(لا يمكن أيضًا تدوين هذين المحددين في النسخة النظيفة ، ولكن يجب كتابة النظام أدناه شفهيًا على الفور)

من أرقام المحددات ، نؤلف نظامًا من اثنين المعادلات الخطيةمع مجهولين:

تأتي نفس المساواة من كلا المعادلتين:

الآن عليك أن تختار الأقلقيمة بحيث تكون القيمة عددًا صحيحًا. من الواضح ، يجب عليك تعيين. وإذا ، إذن

قررنا تخصيص هذا القسم لحل أنظمة المعادلات التفاضلية من أبسط صورة d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 حيث a 1، b 1، c 1 ، أ 2 ، ب 2 ، ج 2 هي بعض الأرقام الحقيقية. الطريقة الأكثر فعالية لحل أنظمة المعادلات هذه هي طريقة التكامل. دعنا أيضًا نفكر في مثال لحل حول هذا الموضوع.

سيكون حل نظام المعادلات التفاضلية عبارة عن زوج من الوظائف x (t) و y (t) ، القادرة على تحويل معادلتين للنظام إلى متطابقة.

ضع في اعتبارك طريقة تكامل نظام المعادلات التفاضلية d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. نعبر عن x من المعادلة الثانية للنظام لاستبعاد الدالة غير المعروفة x (t) من المعادلة الأولى:

د y د t = أ 2 س + ب 2 ص + ص 2 ⇒ س = 1 أ 2 د ص د t - ب 2 ص - ج 2

دعونا نفرق المعادلة الثانية فيما يتعلق روحل معادلتها من أجل d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

الآن دعنا نستبدل نتيجة الحسابات السابقة في المعادلة الأولى للنظام:

د x د t = أ 1 س + ب 1 ص + ص 1 1 أ 2 د 2 y د t 2 - ب 2 د y د t = أ 1 أ 2 د y د t - ب 2 ص - ج 2 + ب 1 ص + ص 1 د 2 ص د ت 2 - (أ 1 + ب 2) د y د t + (أ 1 ب 2 - أ 2 ب 1) ص = أ 2 ج 1 - أ 1 ج 2

وهكذا ، قمنا بإلغاء الدالة غير المعروفة x (t) وحصلنا على DE خطي غير متجانس من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة. لنجد حل هذه المعادلة y (t) ونعوضه في المعادلة الثانية للنظام. لنجد س (ر). نفترض أن هذا يكمل حل نظام المعادلات.

مثال 1

أوجد حل نظام المعادلات التفاضلية d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

المحلول

لنبدأ بالمعادلة الأولى للنظام. دعنا نحلها بالنسبة إلى x:

س = د y د t - 2 ص + 3

لنقم الآن باشتقاق المعادلة الثانية للنظام ، وبعد ذلك نحلها بالنسبة إلى d x d t:

يمكننا استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها أثناء العمليات الحسابية في المعادلة الأولى لنظام DE:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

نتيجة للتحولات ، حصلنا على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. إذا وجدنا الحل العام ، فسنحصل على الدالة ص (ر).

يمكننا إيجاد الحل العام لـ LODE y 0 المقابل عن طريق حساب جذور المعادلة المميزة k 2 - 3 k + 2 = 0:

د \ u003d 3 2-4 2 \ u003d 1 ك 1 \ u003d 3-1 2 \ u003d 1 ك 2 \ u003d 3 + 1 2 \ u003d 2

الجذور التي تلقيناها صحيحة ومميزة. في هذا الصدد ، سيكون الحل العام لـ LODE بالصيغة y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t.

لنجد الآن حلًا معينًا للخطية غير المتجانسة DE y ~:

د 2 y د t 2 - 3 د y د t + 2 ص = 2

الجانب الأيمن من المعادلة هو كثير الحدود من الدرجة صفر. هذا يعني أننا سنبحث عن حل معين بالصيغة y ~ = A ، حيث A هو معامل غير محدد.

يمكننا تحديد المعامل غير المحدد من المساواة d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
د 2 (أ) د t 2 - 3 د (أ) د ر + 2 أ = 2 ⇒ 2 أ = 2 ⇒ أ = 1

وبالتالي ، y ~ = 1 و y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1. وجدنا وظيفة واحدة غير معروفة.

الآن نعوض بالدالة التي تم العثور عليها في المعادلة الثانية لنظام DE ونحل المعادلة الجديدة بالنسبة إلى س (ر):
د (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

لذلك حسبنا الدالة الثانية غير المعروفة x (t) = - C 1 · e t + 1.

الجواب: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

رمز المصفوفة لنظام المعادلات التفاضلية العادية (SODE) ذات المعاملات الثابتة

SODE الخطي المتجانس مع معاملات ثابتة $ \ left \ (\ start (array) (c) (\ frac (dy_ (1)) (dx) = a_ (11) \ cdot y_ (1) + a_ (12) \ cdot y_ (2) + \ ldots + a_ (1n) \ cdot y_ (n)) \\ (\ frac (dy_ (2)) (dx) = a_ (21) \ cdot y_ (1) + a_ (22) \ cdot y_ (2) + \ ldots + a_ (2n) \ cdot y_ (n)) \\ (\ ldots) \\ (\ frac (dy_ (n)) (dx) = a_ (n1) \ cdot y_ (1) + a_ (n2) \ cdot y_ (2) + \ ldots + a_ (nn) \ cdot y_ (n)) \ end (array) \ right. $،

حيث $ y_ (1) \ left (x \ right) ، \ ؛ ص_ (2) \ يسار (س \ يمين) ، \ ؛ \ ldots ، \ ؛ y_ (n) \ left (x \ right) $ - الدوال المرغوبة للمتغير المستقل $ x $ ، المعاملات $ a_ (jk)، \؛ 1 \ le j، k \ le n $ - نمثل الأعداد الحقيقية المعطاة في تدوين المصفوفة:

1. مصفوفة الوظائف المرغوبة $ Y = \ left (\ start (array) (c) (y_ (1) \ left (x \ right)) \\ (y_ (2) \ left (x \ right)) \\ (\ ldots) \\ (y_ (n) \ left (x \ right)) \ end (array) \ right) $؛
2. مصفوفة القرار المشتقة $ \ frac (dY) (dx) = \ left (\ begin (array) (c) (\ frac (dy_ (1)) (dx)) \\ (\ frac (dy_ (2)) (dx )) \\ (\ ldots) \ (\ frac (dy_ (n)) (dx)) \ end (array) \ right) $؛
3. مصفوفة معامل SODE $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (\ ldots) & (a_ (1n)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (\ ldots) & (a_ (2n)) \\ (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) \\ (a_ (n1)) & ( a_ (n2)) & (\ ldots) & (a_ (nn)) \ end (array) \ right) $.

الآن ، استنادًا إلى قاعدة ضرب المصفوفة ، يمكن كتابة هذا SODE كمعادلة مصفوفة $ \ frac (dY) (dx) = A \ cdot Y $.

الطريقة العامة لحل المعامِلات ذات المعاملات الثابتة

يجب أن تكون هناك مصفوفة من بعض الأرقام $ \ alpha = \ left (\ begin (array) (c) (\ alpha _ (1)) \\ (\ alpha _ (2)) \\ (\ ldots) \\ ( \ alpha _ (n)) \ end (array) \ right) $.

يوجد حل SODE بالشكل التالي: $ y_ (1) = \ alpha _ (1) \ cdot e ^ (k \ cdot x) $، $ y_ (2) = \ alpha _ (2) \ cdot e ^ ( ك \ cdot x) $، \ dots، $ y_ (n) = \ alpha _ (n) \ cdot e ^ (k \ cdot x) $. في شكل مصفوفة: $ Y = \ left (\ begin (array) (c) (y_ (1)) \\ (y_ (2)) \\ (\ ldots) \\ (y_ (n)) \ end (array ) \ right) = e ^ (k \ cdot x) \ cdot \ left (\ start (array) (c) (\ alpha _ (1)) \\ (\ alpha _ (2)) \\ (\ ldots) \\ (\ alpha _ (n)) \ end (array) \ right) $.

من هنا نحصل على:

الآن يمكن إعطاء معادلة المصفوفة لهذا SODE الشكل:

يمكن تمثيل المعادلة الناتجة على النحو التالي:

توضح المساواة الأخيرة أن المتجه $ \ alpha $ يتم تحويله بمساعدة المصفوفة $ A $ إلى المتجه $ k \ cdot \ alpha $ الموازي لها. هذا يعني أن المتجه $ \ alpha $ هو متجه ذاتي للمصفوفة $ A $ المقابل للقيمة الذاتية $ k $.

يمكن تحديد الرقم $ k $ من المعادلة $ \ left | \ begin (array) (cccc) (a_ (11) -k) & (a_ (12)) & (\ ldots) & (a_ (1n)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22) -k) & (\ ldots) & (a_ (2n)) \\ (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) \\ (a_ (n1)) & (a_ (n2)) & (\ ldots) & (a_ (nn) -k) \ end (array) \ right | = 0 $.

هذه المعادلة تسمى الخاصية.

اجعل كل الجذور $ k_ (1)، k_ (2)، \ ldots، k_ (n) $ للمعادلة المميزة مميزة. لكل $ k_ (i) $ قيمة من $ \ left (\ begin (array) (cccc) (a_ (11) -k) & (a_ (12)) & (\ ldots) & (a_ (1n)) \ \ (a_ (21)) & (a_ (22) -k) & (\ ldots) & (a_ (2n)) \\ (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) \ \ (a_ (n1)) & (a_ (n2)) & (\ ldots) & (a_ (nn) -k) \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) ( \ alpha _ (1)) \\ (\ alpha _ (2)) \\ (\ ldots) \\ (\ alpha _ (n)) \ end (array) \ right) = 0 $ مصفوفة من القيم يمكن تعريف $ \ left (\ start (array) (c) (\ alpha _ (1) ^ (\ left (i \ right))) \\ (\ alpha _ (2) ^ (\ left (i \ right ))) \\ (\ ldots) \ (\ alpha _ (n) ^ (\ left (i \ right))) \ end (array) \ right) $.

يتم اختيار إحدى القيم في هذه المصفوفة بشكل تعسفي.

أخيرًا ، يتم كتابة حل هذا النظام في شكل مصفوفة على النحو التالي:

$ \ left (\ start (array) (c) (y_ (1)) \\ (y_ (2)) \\ (\ ldots) \\ (y_ (n)) \ end (array) \ right) = \ يسار (\ start (array) (cccc) (\ alpha _ (1) ^ (\ left (1 \ right))) & (\ alpha _ (1) ^ (\ left (2 \ right))) & (\ ldots) & (\ alpha _ (2) ^ (\ left (n \ right))) \\ (\ alpha _ (2) ^ (\ left (1 \ right))) & (\ alpha _ (2) ^ (\ left (2 \ right))) & (\ ldots) & (\ alpha _ (2) ^ (\ left (n \ right))) \\ (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) & (\ ldots) \ (\ alpha _ (n) ^ (\ left (1 \ right))) & (\ alpha _ (2) ^ (\ left (2 \ right))) & (\ ldots) & (\ alpha _ (2) ^ (\ left (n \ right))) \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) (C_ (1) \ cdot e ^ (k_ (1) \ cdot x)) \\ (C_ (2) \ cdot e ^ (k_ (2) \ cdot x)) \\ (\ ldots) \\ (C_ (n) \ cdot e ^ (k_ (n ) \ cdot x)) \ end (مجموعة) \ يمين) $ ،

حيث $ C_ (i) $ ثوابت عشوائية.

مهمة

حل النظام $ \ left \ (\ start (array) (c) (\ frac (dy_ (1)) (dx) = 5 \ cdot y_ (1) + 4y_ (2)) \\ (\ frac (dy_ ( 2)) (dx) = 4 \ cdot y_ (1) +5 \ cdot y_ (2)) \ end (array) \ right. $.

اكتب مصفوفة النظام: $ A = \ left (\ begin (array) (cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \ end (array) \ right) $.

في شكل مصفوفة ، تتم كتابة هذا SODE على النحو التالي: $ \ left (\ begin (array) (c) (\ frac (dy_ (1)) (dt)) \\ (\ frac (dy_ (2)) (dt) ) \ نهاية (مجموعة) \ يمين) = \ يسار (\ ابدأ (مجموعة) (سم مكعب) (5) & (4) \ (4) & (5) \ نهاية (مجموعة) \ يمين) \ cdot \ يسار ( \ start (array) (c) (y_ (1)) \\ (y_ (2)) \ end (array) \ right) $.

نحصل على المعادلة المميزة:

$ \ left | \ start (array) (cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \ end (array) \ right | = 0 $ ie $ k ^ (2) -10 \ cdot ك + 9 = 0 دولار.

جذور المعادلة المميزة: $ k_ (1) = 1 $ ، $ k_ (2) = 9 $.

نؤلف نظامًا لحساب $ \ left (\ start (array) (c) (\ alpha _ (1) ^ (\ left (1 \ right))) \\ (\ alpha _ (2) ^ (\ left ( 1 \ right))) \ end (array) \ right) $ مقابل $ k_ (1) = 1 $:

\ [\ يسار (\ start (مجموعة) (cc) (5-k_ (1)) & (4) \\ (4) & (5-k_ (1)) \ end (array) \ right) \ cdot \ يسار (\ start (array) (c) (\ alpha _ (1) ^ (\ left (1 \ right))) \ (\ alpha _ (2) ^ (\ left (1 \ right))) \ end (مجموعة) \ يمين) = 0، \]

أي $ \ left (5-1 \ right) \ cdot \ alpha _ (1) ^ (\ left (1 \ right)) +4 \ cdot \ alpha _ (2) ^ (\ left (1 \ right)) = 0 دولار ، 4 دولارات \ cdot \ alpha _ (1) ^ (\ left (1 \ right)) + \ left (5-1 \ right) \ cdot \ alpha _ (2) ^ (\ left (1 \ right)) = 0 دولار.

بوضع $ \ alpha _ (1) ^ (\ left (1 \ right)) = 1 $ ، نحصل على $ \ alpha _ (2) ^ (\ left (1 \ right)) = -1 $.

نؤلف نظامًا لحساب $ \ left (\ start (array) (c) (\ alpha _ (1) ^ (\ left (2 \ right))) \\ (\ alpha _ (2) ^ (\ left ( 2 \ right))) \ end (array) \ right) $ مقابل $ k_ (2) = 9 $:

\ [\ يسار (\ start (مجموعة) (cc) (5-k_ (2)) & (4) \\ (4) & (5-k_ (2)) \ end (array) \ right) \ cdot \ يسار (\ start (array) (c) (\ alpha _ (1) ^ (\ left (2 \ right))) \ (\ alpha _ (2) ^ (\ left (2 \ right))) \ end (مجموعة) \ يمين) = 0، \]

أي $ \ left (5-9 \ right) \ cdot \ alpha _ (1) ^ (\ left (2 \ right)) +4 \ cdot \ alpha _ (2) ^ (\ left (2 \ right)) = 0 دولار ، 4 دولارات \ cdot \ alpha _ (1) ^ (\ left (2 \ right)) + \ left (5-9 \ right) \ cdot \ alpha _ (2) ^ (\ left (2 \ right)) = 0 دولار.

بوضع $ \ alpha _ (1) ^ (\ left (2 \ right)) = 1 $ ، نحصل على $ \ alpha _ (2) ^ (\ left (2 \ right)) = 1 $.

نحصل على حل SODE في شكل مصفوفة:

\ [\ left (\ start (array) (c) (y_ (1)) \\ (y_ (2)) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) (C_ (1) \ cdot e ^ (1 \ cdot x) ) \\ (C_ (2) \ cdot e ^ (9 \ cdot x)) \ end (array) \ right). \]

في الشكل المعتاد ، يكون حل SODE هو: $ \ left \ (\ begin (array) (c) (y_ (1) = C_ (1) \ cdot e ^ (1 \ cdot x) + C_ (2) \ cdot e ^ (9 \ cdot x)) \\ (y_ (2) = -C_ (1) \ cdot e ^ (1 \ cdot x) + C_ (2) \ cdot e ^ (9 \ cdot x)) \ end (مجموعة) حق. $.

في العديد من مشاكل الرياضيات والفيزياء والتكنولوجيا ، يلزم تحديد عدة وظائف في وقت واحد ، مترابطة بواسطة عدة معادلات تفاضلية. تسمى مجموعة هذه المعادلات نظام المعادلات التفاضلية. على وجه الخصوص ، تؤدي هذه الأنظمة إلى مشاكل يتم فيها دراسة حركة الأجسام في الفضاء تحت تأثير قوى معينة.

دعنا ، على سبيل المثال ، تتحرك نقطة كتلة مادية على طول منحنى معين (L) في الفضاء تحت تأثير القوة F. مطلوب تحديد قانون حركة النقطة ، أي اعتماد إحداثيات النقطة في الوقت المناسب.

لنفترض ذلك

متجه نصف قطر النقطة المتحركة. إذا تم الإشارة إلى الإحداثيات المتغيرة للنقطة ، إذن

يتم حساب سرعة وتسارع النقطة المتحركة من خلال الصيغ:

(انظر الفصل السادس ، الفقرة 5 ، عدد 4).

القوة F ، التي تتحرك فيها نقطة ما ، بشكل عام ، هي دالة للوقت وإحداثيات النقطة وإسقاطات السرعة على محاور الإحداثيات:

استنادًا إلى قانون نيوتن الثاني ، تتم كتابة معادلة حركة النقطة على النحو التالي:

إسقاط المتجهات على اليسار و الأجزاء الصحيحةمن هذه المساواة ، على محور الإحداثيات ، نحصل على ثلاث معادلات تفاضلية للحركة:

هذه المعادلات التفاضلية هي نظام من ثلاث معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالوظائف الثلاث المطلوبة:

في المستقبل ، سنقتصر على دراسة نظام معادلات من الدرجة الأولى فقط ذات شكل خاص فيما يتعلق بالوظائف المرغوبة. هذا النظام له الشكل

نظام المعادلات (95) يسمى نظام في الشكل العادي ، أو النظام العادي.

في النظام العادي ، لا تحتوي الجوانب اليمنى من المعادلات على مشتقات الوظائف المرغوبة.

حل النظام (95) هو مجموعة الوظائف التي تحقق كل معادلة من معادلات هذا النظام.

يمكن اختزال أنظمة معادلات الرتب الثانية والثالثة والأعلى إلى نظام عادي عن طريق إدخال وظائف مرغوبة جديدة. على سبيل المثال ، يمكن تحويل النظام (94) إلى شكل عادي على النحو التالي. نقدم وظائف جديدة عن طريق الإعداد. ثم يتم كتابة نظام المعادلة (94) على النحو التالي:

نظام (96) طبيعي.

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، نظامًا طبيعيًا من ثلاث معادلات ذات ثلاث وظائف غير معروفة:

بالنسبة للنظام العادي للمعادلات التفاضلية ، تتم صياغة نظرية كوشي لوجود الحل وتفرده على النحو التالي.

نظرية. دع الجوانب اليمنى من معادلات النظام (97) ، أي أن تكون الدوال متصلة في جميع المتغيرات في بعض المجالات G ولها مشتقات جزئية مستمرة فيها. ثم ، مهما كانت القيم التي تنتمي إلى المجال G ، هناك هو حل فريد للنظام يلبي الشروط الأولية:

لدمج النظام (97) ، يمكن للمرء تطبيق الطريقة التي يتم من خلالها تقليل النظام المعطى الذي يحتوي على ثلاث معادلات فيما يتعلق بالوظائف الثلاث المرغوبة إلى معادلة من الدرجة الثالثة فيما يتعلق بوظيفة واحدة غير معروفة. دعونا نعرض مثالاً لتطبيق هذه الطريقة.

من أجل التبسيط ، نقصر أنفسنا على نظام من معادلتين. دع نظام المعادلات

لإيجاد حل للنظام ، نتابع على النحو التالي. التفريق بين المعادلات الأولى في النظام بالنسبة إلى نجد

الاستعاضة عن هذه المساواة بالتعبير من المعادلة الثانية للنظام ، نحصل عليها

أخيرًا ، استبدال الدالة y بتعبيرها من المعادلة الأولى للنظام

نحصل على معادلة خطية متجانسة من الدرجة الثانية فيما يتعلق بوظيفة واحدة غير معروفة:

بدمج هذه المعادلة ، نجد حلها العام

التفريق بين المساواة التي نجدها

استبدال التعبيرات لـ x وفي المساواة وإحضار المصطلحات المتشابهة ، نحصل عليها

هي الحل لهذا النظام.

لذلك ، بدمج نظام عادي من معادلتين تفاضليتين ، حصلنا على حلها اعتمادًا على ثابتين تعسفيتين ، ويمكن إثبات أنه في الحالة العامة للنظام الطبيعي المكون من معادلات ، سيعتمد حله العام على ثوابت عشوائية.