إنه جسم هندسي يحده مستويان متوازيان وسطح أسطواني.

تتكون الاسطوانة من سطح جانبي وقاعدتين. تتضمن صيغة مساحة سطح الأسطوانة حسابًا منفصلاً لمنطقة القاعدة والجانب. نظرًا لأن القواعد الموجودة في الأسطوانة متساوية ، فسيتم حساب مساحتها الإجمالية بالصيغة:

سننظر في مثال لحساب مساحة الأسطوانة بعد أن نتعلم جميع الصيغ اللازمة. أولًا ، نحتاج إلى صيغة لمساحة قاعدة الأسطوانة. نظرًا لأن قاعدة الأسطوانة عبارة عن دائرة ، فنحن بحاجة إلى تطبيق:
نتذكر أنه في هذه الحسابات تم استخدام رقم ثابت Π = 3.1415926 ، والذي يتم حسابه كنسبة محيط الدائرة إلى قطرها. هذا الرقم ثابت رياضي. سننظر أيضًا في مثال لحساب مساحة قاعدة الأسطوانة بعد قليل.

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة

صيغة مساحة السطح الجانبية للأسطوانة هي حاصل ضرب طول القاعدة بارتفاعها:

لننظر الآن في مشكلة نحتاج فيها إلى حساب المساحة الكلية للأسطوانة. في شكل معطى ، الارتفاع h = 4 cm ، r = 2 cm ، فلنجد المساحة الكلية للأسطوانة.
أولاً ، لنحسب مساحة القواعد:
لننظر الآن في مثال لحساب مساحة السطح الجانبي للأسطوانة. عندما يتم توسيعه ، يكون مستطيلاً. يتم حساب مساحتها باستخدام الصيغة أعلاه. دعنا نستبدل جميع البيانات فيه:
إجمالي مساحة الدائرة هو مجموع ضعف مساحة القاعدة والجانب:

وهكذا ، باستخدام الصيغ الخاصة بمساحة القواعد والسطح الجانبي للشكل ، تمكنا من إيجاد مساحة السطح الكلية للأسطوانة.
القسم المحوري من الأسطوانة عبارة عن مستطيل تتساوى جوانبه مع ارتفاع وقطر الأسطوانة.

تُشتق معادلة مساحة المقطع المحوري للأسطوانة من صيغة الحساب:

القياس المجسم هو فرع من فروع الهندسة يدرس الأشكال في الفضاء. الشخصيات الرئيسية في الفضاء هي نقطة وخط ومستوى. في القياس الفراغي ، يظهر نوع جديد من الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة: عبور الخطوط المستقيمة. هذا هو واحد من الاختلافات القليلة الهامة بين القياس الفراغي وقياس التخطيط ، لأنه في كثير من الحالات يتم حل مشاكل القياس الفراغي من خلال النظر في المستويات المختلفة التي يتم فيها استيفاء قوانين القياس.

في الطبيعة من حولنا ، هناك العديد من الأشياء التي تمثل نماذج فيزيائية للشكل المحدد. على سبيل المثال ، تتخذ العديد من أجزاء الماكينة شكل أسطوانة أو مزيج منها ، وتؤكد الأعمدة المهيبة للمعابد والكاتدرائيات ، المصنوعة على شكل أسطوانات ، على انسجامها وجمالها.

اليونانية - كوليندروس. مصطلح قديم. في الحياة اليومية - لفافة ورق البردي ، بكرة ، حلبة تزلج (الفعل هو لف ، لفة).

في إقليدس ، يتم الحصول على أسطوانة عن طريق تدوير مستطيل. لكافاليري - بحركة المولد (مع دليل تعسفي - "اسطوانة").

الغرض من هذا المقال هو النظر في جسم هندسي - أسطوانة.

لتحقيق هذا الهدف ، من الضروري مراعاة المهام التالية:

- إعطاء تعريفات للأسطوانة ؛

- ضع في اعتبارك عناصر الاسطوانة ؛

- دراسة خصائص الاسطوانة.

- النظر في أنواع قسم الاسطوانة ؛

- اشتقاق صيغة مساحة الأسطوانة ؛

- اشتقاق صيغة حجم الاسطوانة ؛

- حل المشاكل باستخدام اسطوانة.

1.1 تحديد الاسطوانة

ضع في اعتبارك بعض الخط (منحنى ، خط مكسور ، أو مختلط) يقع في مستوى ما α ، وبعض الخط المستقيم S يتقاطع مع هذا المستوى. من خلال جميع نقاط هذا الخط ، ارسم خطوطًا مستقيمة موازية للخط S ؛ يسمى السطح α الذي تشكله هذه الخطوط بالسطح الأسطواني. يسمى الخط l اتجاه هذا السطح ، والخطوط s 1 ، s 2 ، s 3 ، ... هي مولداته.

إذا كان الدليل عبارة عن خط مكسور ، فإن هذا السطح الأسطواني يتكون من سلسلة من الأشرطة المسطحة المحاطة بين أزواج من الخطوط المستقيمة المتوازية ، ويسمى السطح المنشوري. تسمى المولدات التي تمر عبر رؤوس الخطوط المتعددة التوجيه بحواف السطح المنشوري ، وتسمى الخطوط المسطحة بينها وجوهها.

إذا قطعنا أي سطح أسطواني بمستوى عشوائي غير موازٍ لشكله ، فإننا نحصل على خط يمكن اعتباره أيضًا دليلًا لهذا السطح. من بين الأدلة ، يبرز الدليل الذي يتضح أنه من قسم السطح بمستوى عمودي على الشبكة التوليدية للسطح. يسمى هذا القسم بالقسم العادي ، ويسمى الدليل المقابل بالدليل العادي.

إذا كان الدليل عبارة عن خط مغلق (محدب) (خط أو منحنى مكسور) ، فإن السطح المقابل يسمى سطح موشوري أو أسطواني مغلق (محدب). من بين الأسطح الأسطوانية ، يحتوي الأبسط على دائرة كدليل عادي. نقوم بتشريح سطح موشوري محدب مغلق بطائرتين متوازيتين مع بعضهما البعض ، ولكن ليس بالتوازي مع المولد.

نحصل على المضلعات المحدبة في الأقسام. الآن جزء من السطح المنشوري ، محاطًا بين المستويين α و α "، واللوحتان المضلعتان الناتجتان في هذه المستويات تحد من الجسم ، ويسمى الجسم المنشوري - المنشور.

جسم أسطواني - يتم تعريف الأسطوانة بشكل مشابه للمنشور:
الأسطوانة عبارة عن جسم يحده من الجانبين سطح أسطواني مغلق (محدب) ، ومن الأطراف قاعدتان متوازيتان مسطحتان. كلا قاعدتي الأسطوانة متساويتان ، وجميع مولدات الأسطوانة متساوية أيضًا ، أي أجزاء من مولدات سطح أسطواني بين مستويات القواعد.

الأسطوانة (بتعبير أدق ، الأسطوانة الدائرية) هي جسم هندسي يتكون من دائرتين لا تقعان في نفس المستوى ويتم دمجهما بترجمة متوازية ، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر (الشكل 1) .

تسمى الدوائر قواعد الأسطوانة ، وتسمى الأجزاء الخطية التي تربط النقاط المقابلة لدوائر الدوائر بمولدات الأسطوانة.

بما أن الترجمة المتوازية هي حركة ، فإن قواعد الأسطوانة متساوية.

نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي ، يمر المستوى إلى مستوى موازٍ (أو في نفسه) ، فإن قواعد الأسطوانة تقع في مستويات متوازية.

نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي ، يتم إزاحة النقاط على طول خطوط مستقيمة متوازية (أو متزامنة) بنفس المسافة ، فإن مولدات الأسطوانة تكون متوازية ومتساوية.

يتكون سطح الأسطوانة من قواعد وسطح جانبي. السطح الجانبي يتكون من مولدات.

تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القواعد.

يمكن تصور الأسطوانة المستقيمة بوضوح كجسم هندسي يصف المستطيل عندما يدور حول جانب كمحور (الشكل 2).

أرز. 2 - اسطوانة مستقيمة

فيما يلي ، سننظر فقط في الأسطوانة المستقيمة ، ونطلق عليها ببساطة اسم الأسطوانة للإيجاز.

نصف قطر الأسطوانة هو نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الأسطوانة هو المسافة بين مستويي قواعدها. يسمى محور الاسطوانة بالخط المستقيم الذي يمر عبر مراكز القواعد. إنه موازٍ للمركب العام.

تسمى الأسطوانة متساوية الأضلاع إذا كان ارتفاعها يساوي قطر القاعدة.

إذا كانت قواعد الأسطوانة مسطحة (وبالتالي ، فإن المستويات التي تحتوي عليها متوازية) ، فإن الأسطوانة تسمى الوقوف على المستوى. إذا كانت قواعد الأسطوانة التي تقف على المستوى متعامدة مع المولد ، فإن الأسطوانة تسمى مستقيمة.

على وجه الخصوص ، إذا كانت قاعدة الأسطوانة الموجودة على المستوى عبارة عن دائرة ، فإننا نتحدث عن أسطوانة دائرية (مستديرة) ؛ إذا كان القطع الناقص بيضاوي الشكل.

1. 3. أقسام الاسطوانة

قسم الأسطوانة بمستوى موازٍ لمحورها عبارة عن مستطيل (الشكل 3 ، أ). وجهانها هما مولدان من الأسطوانة ، والوجهان الآخران هما وتران متوازيان للقواعد.

أ) ب)

الخامس) ز)

أرز. 3 - أقسام الاسطوانة

على وجه الخصوص ، المستطيل هو القسم المحوري. هذا جزء من أسطوانة بواسطة مستوى يمر عبر محورها (الشكل 3 ، ب).

قسم الاسطوانة بمستوى موازٍ للقاعدة - دائرة (الشكل 3 ، ج).

قسم الأسطوانة مع مستوى غير موازي للقاعدة ومحورها بيضاوي (الشكل ثلاثي الأبعاد).

النظرية 1. يتقاطع المستوى الموازي لمستوى قاعدة الأسطوانة مع سطحه الجانبي في دائرة مساوية لمحيط القاعدة.

دليل. لنفترض أن β مستوى موازٍ لمستوى قاعدة الأسطوانة. الترجمة الموازية في اتجاه محور الأسطوانة ، محاذاة المستوى مع مستوى قاعدة الأسطوانة ، تعمل على محاذاة قسم السطح الجانبي بواسطة المستوى مع محيط القاعدة. تم إثبات النظرية.

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة.

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة هي الحد الذي تميل إليه مساحة السطح الجانبي للمنشور المنتظم المدرج في الأسطوانة عندما يزداد عدد جوانب قاعدة هذا المنشور إلى ما لا نهاية.

النظرية 2. مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي حاصل ضرب محيط قاعدتها بالارتفاع (S side.ts = 2πRH ، حيث R هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة ، H تساوي ارتفاع الاسطوانة).

أ) ب)
أرز. 4 - مساحة السطح الجانبي للاسطوانة

دليل.

لنفترض أن P n و H ، على التوالي ، هما محيط القاعدة وارتفاع منشور منتظم بزاوية n منقوش في أسطوانة (الشكل 4 ، أ). ثم مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور الجانبي S.ts - P n H. افترض أن عدد جوانب المضلع المدرج في القاعدة ينمو إلى أجل غير مسمى (الشكل 4 ، ب). ثم المحيط P n يميل إلى المحيط C = 2πR ، حيث R هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة ، والارتفاع H لا يتغير. وبالتالي ، فإن مساحة السطح الجانبي للمنشور تميل إلى الحد 2πRH ، أي مساحة السطح الجانبي للأسطوانة هي S side.c = 2πRH. تم إثبات النظرية.

المساحة الإجمالية للأسطوانة.

إجمالي مساحة السطح للأسطوانة هي مجموع مساحات السطح الجانبي والقاعدتين. مساحة كل قاعدة من الأسطوانة تساوي πR 2 ، لذلك يتم حساب مساحة السطح الكلية للأسطوانة S بالكامل بواسطة الصيغة S side.ts = 2πRH + 2πR 2.

أرز. 5 - المساحة الكلية للأسطوانة

إذا تم قطع السطح الجانبي للأسطوانة على طول المصفوفة المولدة FT (الشكل 5 ، أ) وتم توسيعه بحيث تكون جميع المولدات في نفس المستوى ، فنتيجة لذلك نحصل على مستطيل FTT1F1 ، والذي يسمى مسح جانبي سطح الاسطوانة. الجانب FF1 من المستطيل هو تطور لمحيط قاعدة الأسطوانة ، لذلك ، FF1 = 2πR ، وجانبه FT يساوي المصفوفة التوليدية للأسطوانة ، أي FT = H (الشكل 5 ، ب ). وبالتالي ، فإن المساحة FT ∙ FF1 = 2πRH من عملية مسح الأسطوانة تساوي مساحة سطحها الجانبي.

1.5 حجم الاسطوانة

إذا كان الجسم الهندسي بسيطًا ، أي يمكن تقسيمه إلى عدد محدود من الأهرامات المثلثية ، فإن حجمه يساوي مجموع أحجام هذه الأهرامات. بالنسبة للهيئة التعسفية ، يتم تحديد الحجم على النحو التالي.

جسم معين له حجم V إذا كانت هناك أجسام بسيطة تحتوي عليه وأجسامًا بسيطة موجودة فيه بأحجام تختلف قليلاً عن V بقدر ما هو مطلوب.

دعونا نطبق هذا التعريف لإيجاد حجم أسطوانة نصف قطر قاعدتها R وارتفاعها H.

عند اشتقاق صيغة مساحة الدائرة ، تم إنشاء اثنين من n-gons (أحدهما يحتوي على دائرة ، والآخر يحتوي على دائرة) بحيث تقترب مناطقهما ، مع زيادة غير محدودة في n ، من مساحة دائرة. دعونا نبني مثل هذه المضلعات للدائرة الموجودة في قاعدة الأسطوانة. لنفترض أن P عبارة عن مضلع يحتوي على دائرة ، و P "مضلع مضمن في دائرة (الشكل 6).

أرز. 7 - اسطوانة ذات موشور موصوف ومنقوش فيه

نقوم ببناء منشورين مستقيمين بقاعدتين P و P "وارتفاع H يساوي ارتفاع الأسطوانة. يحتوي المنشور الأول على أسطوانة ، بينما يحتوي المنشور الثاني على أسطوانة. نظرًا لأنه مع زيادة غير محدودة في n ، فإن المساحات من قواعد المنشور تقترب إلى أجل غير مسمى من مساحة قاعدة الأسطوانة S ، وتقترب أحجامها بلا حدود من SН. وفقًا للتعريف ، حجم الأسطوانة

V = SH = πR 2 H.

إذن ، حجم الأسطوانة يساوي حاصل ضرب منطقة القاعدة بالارتفاع.

الهدف 1.

المقطع المحوري للأسطوانة عبارة عن مربع ، مساحته Q.

أوجد مساحة قاعدة الأسطوانة.

معطى: اسطوانة ، مربع - مقطع محوري من الاسطوانة ، مربع S = Q.

البحث عن: اسطوانة رئيسية.

جانب المربع هو. يساوي قطر القاعدة. لذلك ، مساحة القاعدة .

الجواب: اسطوانة رئيسية. =

الهدف 2.

منشور سداسي منتظم منقوش في الاسطوانة. أوجد الزاوية بين قطري وجهها الجانبي ومحور الأسطوانة إذا كان نصف قطر القاعدة يساوي ارتفاع الأسطوانة.

معطى: الأسطوانة ، المنشور السداسي المنتظم المنقوش في الأسطوانة ، نصف قطر القاعدة = ارتفاع الأسطوانة.

البحث: الزاوية بين قطري وجهها الجانبي ومحور الأسطوانة.

الحل: الوجوه الجانبية للمنشور عبارة عن مربعات ، لأن جانب الشكل السداسي المنتظم المدرج في دائرة يساوي نصف القطر.

حواف المنشور موازية لمحور الأسطوانة ، وبالتالي فإن الزاوية بين قطري الوجه ومحور الأسطوانة تساوي الزاوية بين القطر والحافة الجانبية. وهذه الزاوية تساوي 45 درجة ، لأن الوجوه مربعة.

الإجابة: الزاوية بين قطري وجهها الجانبي ومحور الأسطوانة = 45 درجة.

الهدف 3.

ارتفاع الأسطوانة 6 سم ونصف قطر القاعدة 5 سم.

أوجد مساحة المقطع المرسومة بالتوازي مع محور الأسطوانة على مسافة 4 سم منها.

المعطى: H = 6 سم ، R = 5 سم ، OE = 4 سم.

البحث عن: S sec.

ثانية ثانية. = KM × KS ،

OE = 4 سم ، KS = 6 سم.

مثلث OKM - متساوي الساقين (OK = OM = R = 5 سم) ،

مثلث OEK - مستطيل.

من مثلث OEK ، وفقًا لنظرية فيثاغورس:

KM = 2EK = 2 × 3 = 6 ،

ثانية ثانية. = 6 × 6 = 36 سم 2.

تم الانتهاء من الغرض من هذا المقال ؛ يتم النظر في مثل هذا الجسم الهندسي مثل الأسطوانة.

تم النظر في المهام التالية:

- يتم إعطاء تعريف الاسطوانة ؛

- تعتبر عناصر الاسطوانة ؛

- درس خصائص الاسطوانة.

- يتم النظر في أنواع أقسام الاسطوانة ؛

- يتم اشتقاق صيغة مساحة الأسطوانة ؛

- يتم اشتقاق صيغة حجم الاسطوانة ؛

- تم حل مشاكل استخدام الاسطوانة.

1. Pogorelov A. V. Geometry: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من المؤسسات التعليمية ، 1995.

2. بيسكين ل. القياس المجسم. كتيب لمعلمي المدارس الثانوية ، 1999.

3. Atanasyan L. S.، Butuzov V. F.، Kadomtsev S.

4. الكسندروف أ.د. ، فيرنر أل ، ريزيك ف. الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف من العاشر إلى الحادي عشر من المؤسسات التربوية ، 1998.

5. Kiselev A. P.، Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: grades: 10-11: Textbook and Problem book، 2000.

أسطوانة (أسطوانة دائرية) - جسم يتكون من دائرتين ، مجتمعتين بترجمة متوازية ، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر. تسمى الدوائر قواعد الأسطوانة ، وتسمى الأجزاء الخطية التي تربط النقاط المقابلة لدوائر الدوائر بمولدات الأسطوانة.

قواعد الأسطوانة متساوية وتقع في مستويات متوازية ، ومولدات الأسطوانة متوازية ومتساوية. يتكون سطح الأسطوانة من قواعد وسطح جانبي. السطح الجانبي يتكون من مولدات.

تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع المستويات الأساسية. يمكن رؤية الأسطوانة على أنها مادة صلبة يتم الحصول عليها من خلال تدوير مستطيل حول أحد جوانبه كمحور. هناك أنواع أخرى من الأسطوانات - بيضاوية ، قطعية ، قطع مكافئ. يعتبر المنشور أيضًا نوعًا من الأسطوانات.

يوضح الشكل 2 أسطوانة مائلة. الدوائر ذات المراكز O و O 1 هي قواعدها.

نصف قطر الاسطوانة - نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الاسطوانة هو المسافة بين مستوي القاعدة. يسمى محور الاسطوانة بالخط المستقيم الذي يمر عبر مراكز القواعد. إنه موازٍ للمركب العام. يسمى قسم الاسطوانة بطائرة تمر عبر محور الاسطوانة القسم المحوري. يُطلق على المستوى الذي يمر عبر الشبكة التوليدية لأسطوانة مستقيمة وعمودي على القسم المحوري المرسوم من خلال هذه الشبكة المولدة اسم المستوى المماس للأسطوانة.

يتقاطع المستوى العمودي على محور الأسطوانة مع سطحه الجانبي في دائرة مساوية لمحيط القاعدة.

المنشور المدرج في أسطوانة هو منشور أساسه عبارة عن مضلعات متساوية منقوشة في قواعد الأسطوانة. أضلاعه الجانبية هي مولدات من الاسطوانة. يسمى المنشور مقيدًا حول أسطوانة إذا كانت قواعده مضلعات متساوية ومحددة حول قواعد الأسطوانة. تلمس طائرات وجوهها السطح الجانبي للأسطوانة.

يمكن حساب مساحة السطح الجانبي للأسطوانة بضرب طول المصفوفة في محيط مقطع الأسطوانة في مستوى عمودي على شبكة التوليد.

يمكن العثور على مساحة السطح الجانبي للأسطوانة المستقيمة من خلال مسحها. الأسطوانة غير المطوية هي مستطيل ارتفاعه h وطوله P ، وهو ما يساوي محيط القاعدة. وبالتالي ، فإن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي مساحة اكتساحها ويتم حسابها بالصيغة التالية:

على وجه الخصوص ، بالنسبة للأسطوانة الدائرية المستقيمة:

P = 2πR ، و S b = 2πRh.

إجمالي مساحة السطح للأسطوانة يساوي مجموع مساحات سطحها الجانبي وقواعدها.

لأسطوانة دائرية مستقيمة:

S ص = 2πRh + 2πR 2 = 2πR (ح + ص)

توجد صيغتان لإيجاد حجم الأسطوانة المائلة.

يمكنك إيجاد الحجم بضرب طول المصفوفة في مساحة المقطع العرضي للأسطوانة في المستوى المتعامد مع المصفوفة.

حجم الأسطوانة المائلة يساوي ناتج منطقة القاعدة بالارتفاع (المسافة بين المستويات التي تقع فيها القواعد):

V = Sh = S l sin α ،

حيث l طول المولد ، و α هي الزاوية بين المولد ومستوى القاعدة. لأسطوانة مستقيمة h = l.

صيغة إيجاد حجم الأسطوانة الدائرية هي كما يلي:

V = π R 2 h = π (د 2/4) ح ،

حيث d هو قطر القاعدة.

blog. site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط للمصدر.

أوجد مساحة المقطع المحوري العمودي على قاعدة الأسطوانة. أحد جانبي هذا المستطيل يساوي ارتفاع الأسطوانة ، والآخر هو قطر دائرة القاعدة. وفقًا لذلك ، ستكون مساحة المقطع العرضي في هذه الحالة مساوية لحاصل ضرب جانبي المستطيل. S = 2R * h ، حيث S هي مساحة المقطع العرضي ، R هي نصف قطر دائرة القاعدة المحددة بشروط المشكلة ، و h هي ارتفاع الأسطوانة ، كما تحددها شروط المشكلة.

إذا كان المقطع عموديًا على القواعد ، لكنه لا يمر عبر محور الدوران ، فلن يساوي المستطيل قطر الدائرة. يجب أن تحسب. للقيام بذلك ، يجب أن تحدد المشكلة المسافة التي يمر بها مستوى المقطع من محور الدوران. لتسهيل العمليات الحسابية ، ارسم دائرة لقاعدة الأسطوانة ، ارسم نصف قطر وضعها جانبًا المسافة التي يقع عندها القسم من مركز الدائرة. من هذه النقطة ، ارسم الخطوط العمودية على التقاطع مع الدائرة. قم بتوصيل نقاط التقاطع بالمركز. عليك أن تجد الأوتار. أوجد حجم نصف وتر بواسطة نظرية فيثاغورس. سيكون مساويًا للجذر التربيعي للفرق بين مربعات نصف قطر الدائرة من المركز إلى خط القسم. a2 = R2-b2. سيكون الوتر بأكمله ، على التوالي ، مساويًا لـ 2 أ. احسب مساحة المقطع العرضي التي تساوي حاصل ضرب جانبي المستطيل ، أي S = 2a * h.

يمكن تشريح الاسطوانة دون المرور عبر مستوى القاعدة. إذا كان المقطع العرضي عموديًا على محور الدوران ، فسيكون دائرة. مساحتها في هذه الحالة تساوي مساحة القواعد ، أي يتم حسابها بواسطة الصيغة S = πR2.

نصيحة مفيدة

لتخيل القسم بشكل أكثر دقة ، قم بعمل رسم وإنشاءات إضافية له.

مصادر:

• قسم من منطقة الاسطوانة

ينتمي خط تقاطع السطح مع المستوى إلى كل من السطح ومستوى القطع. خط تقاطع السطح الأسطواني مع مستوى القطع الموازي لمركب التوليد المستقيم هو خط مستقيم. إذا كان مستوى المقطع متعامدًا على محور سطح الدوران ، فستكون هناك دائرة في القسم. في الحالة العامة ، يكون خط تقاطع السطح الأسطواني مع مستوى القطع خطًا منحنيًا.

سوف تحتاج

• قلم رصاص ، مسطرة ، مثلث ، قوالب ، بوصلات ، أداة قياس.

تعليمات

على المستوى الأمامي للإسقاطات П₂ ، يتزامن خط المقطع مع إسقاط المستوى القاطع في شكل خط مستقيم.
عيّن نقاط تقاطع مولدات الأسطوانة مع الإسقاط 1₂ ، 2₂ ، إلخ. للنقطتين 10₂ و 11₂.

على المستوى П₁ دائرة. النقاط 1₂ ، 2₂ ، إلخ ، موضحة على مستوى القسم Σ₂. بمساعدة خط اتصال الإسقاط ، يتم إسقاطها على مخطط هذه الدائرة. عيّن إسقاطاتها الأفقية بشكل متماثل حول المحور الأفقي للدائرة.

وبالتالي ، يتم تحديد إسقاطات القسم المطلوب: على المستوى П₂ - خط مستقيم (النقاط 1₂ ، 2₂ ... 10₂) ؛ على المستوى П₁ - دائرة (النقاط 1₁ ، 2₁ ... 10₁).

باستخدام اثنين ، قم بتكوين الحجم الفعلي لقسم الأسطوانة المعطاة بمستوى الإسقاط الأمامي. للقيام بذلك ، استخدم طريقة الإسقاط.

ارسم المستوى الموازي لإسقاط المستوى Σ₂. على هذا المحور السيني الجديد ، ضع علامة على النقطة 1₀. المسافات بين النقاط 1₂ - 2₂ ، 2₂ - 4₂ ، إلخ. من الإسقاط الأمامي للقسم ، ارسم على المحور x ، ارسم خطوطًا رفيعة لوصلة الإسقاط المتعامدة مع المحور x₂₄.

في هذه الطريقة ، يحل المستوى П₄ محل المستوى П₁ ، وبالتالي ، من الإسقاط الأفقي ، انقل الأبعاد من المحور إلى النقاط إلى محور المستوى П₄.

على سبيل المثال ، عند للنقطتين 2 و 3 ستكون هذه المسافة من 2₁ و 3₁ إلى المحور (النقطة أ) ، إلخ.

وبغض النظر عن المسافات المشار إليها من الإسقاط الأفقي ، تحصل على النقاط 2₀ ، 3₀ ، 6₀ ، 7₀ ، 10₀ ، 11₀. ثم ، لمزيد من الدقة في البناء ، يتم تحديد النقاط المتبقية والمتوسطة.

من خلال توصيل جميع النقاط بمنحنى منحني ، تحصل على الحجم الفعلي المطلوب لقسم الأسطوانة بواسطة مستوى الإسقاط الأمامي.

مصادر:

• كيفية استبدال الطائرة

نصيحة 3: كيفية إيجاد المنطقة المحورية لمخروط مقطوع

لحل هذه المشكلة ، عليك أن تتذكر ما هو المخروط المقطوع وما هي خصائصه. تأكد من عمل رسم. سيسمح لك ذلك بتحديد الشكل الهندسي للقسم. من المحتمل تمامًا أنه بعد ذلك ، لن يكون حل المشكلة صعبًا بالنسبة لك.

تعليمات

المخروط الدائري هو جسم يتم الحصول عليه من خلال تدوير مثلث حول إحدى رجليه. خطوط مستقيمة صادرة من الأعلى مخروطوتسمى القاعدة التي تتقاطع معها المولدات. إذا كانت جميع المولدات متساوية ، يكون المخروط مستقيمًا. في قاعدة الجولة مخروطتقع دائرة. العمودية التي تم إسقاطها على القاعدة من الأعلى هي الارتفاع مخروط... جولة مباشرة مخروطالارتفاع يتزامن مع محوره. المحور هو خط مستقيم يتصل بمركز القاعدة. إذا كان مستوى القطع الأفقي الدائري مخروط، ثم قاعدته العلوية عبارة عن دائرة.

نظرًا لأنه لم يتم تحديده في حالة المشكلة ، فإن المخروط هو المعطى في هذه الحالة ، يمكننا أن نستنتج أن هذا هو مخروط مقطوع مستقيم ، وقسمه الأفقي موازي للقاعدة. قسمها المحوري ، أي المستوى العمودي ، والذي يمر عبر محور الجولة مخروط، هو شبه منحرف متساوي الساقين. كل المحوري المقاطع العرضيةجولة مباشرة مخروطمتساوية مع بعضها البعض. ومن ثم العثور على ملفات ميدانمحوري المقاطع العرضية، يجب أن تجد ميدانشبه منحرف ، قواعده هي أقطار القواعد المقطوعة مخروطوالجوانب الجانبية هي مولداتها. ارتفاع مقطوع مخروطهو في نفس الوقت ارتفاع شبه المنحرف.

يتم تحديد مساحة شبه المنحرف بالصيغة: S = ½ (a + b) h ، حيث S - ميدانشبه منحرف ؛ أ - قيمة القاعدة السفلية من شبه المنحرف ؛ ب - قيمة قاعدتها العلوية ؛ ح - ارتفاع شبه منحرف.

نظرًا لأن الشرط لا يحدد أي منها يتم تقديمه ، فمن الممكن أن تكون أقطار كلا القاعدتين المقطوعة مخروطمعروف: AD = d1 - قطر القاعدة السفلية للمبتور مخروط؛ BC = d2 - قطر قاعدتها العلوية ؛ EH = h1 - الارتفاع مخروط.في هذا الطريق، ميدانمحوري المقاطع العرضيةمقطوع مخروطمحدد: S1 = ½ (d1 + d2) h1

مصادر:

• منطقة مخروطية مقطوعة

الأسطوانة عبارة عن شكل مكاني وتتكون من قاعدتين متساويتين ، وهما دوائر وسطح جانبي يربط بين الخطوط التي تحدد القواعد. لكي يحسب ميدان اسطوانة، ابحث عن المساحات بكافة أسطحها واجمعها.

الأسطوانة عبارة عن شكل مكاني متماثل ، تُؤخذ خصائصه في الاعتبار في المدرسة الثانوية في سياق القياس الفراغي. لوصفها ، يتم استخدام الخصائص الخطية مثل ارتفاع ونصف قطر القاعدة. في هذه المقالة ، سننظر في الأسئلة المتعلقة بالمقطع المحوري للأسطوانة ، وكيفية حساب معلماتها من خلال الخصائص الخطية الأساسية للشكل.

الشكل الهندسي

أولاً ، دعنا نحدد الشكل الذي سيتم مناقشته في المقالة. الأسطوانة عبارة عن سطح يتكون من إزاحة متوازية لقطعة بطول ثابت بمحاذاة منحنى معين. الشرط الرئيسي لهذه الحركة هو ألا ينتمي جزء مستوى المنحنى.

يوضح الشكل أدناه أسطوانة يكون منحنىها (دليلها) قطع ناقص.

هنا مقطع الطول h هو مولده وارتفاعه.

يمكن ملاحظة أن الأسطوانة تتكون من قاعدتين متطابقتين (القطع الناقص في هذه الحالة) ، والتي تقع في مستويات متوازية ، وسطح جانبي. تنتمي جميع نقاط خطوط التوليد إلى الأخير.

قبل الشروع في النظر في القسم المحوري للأسطوانات ، سنخبرك بأنواع هذه الأشكال.

إذا كان خط التوليد عموديًا على قواعد الشكل ، فإننا نتحدث عن أسطوانة مستقيمة. خلاف ذلك ، سيتم إمالة الأسطوانة. إذا قمت بتوصيل النقاط المركزية للقاعدتين ، فإن الخط المستقيم الناتج يسمى محور الشكل. يوضح الشكل أدناه الفرق بين الأسطوانات المستقيمة والميل.

يمكن ملاحظة أنه بالنسبة إلى الشكل المستقيم ، يتطابق طول المقطع المولِّد مع قيمة الارتفاع h. بالنسبة للأسطوانة المائلة ، يكون الارتفاع ، أي المسافة بين القاعدتين ، دائمًا أقل من طول خط التوليد.

المقطع المحوري لأسطوانة مستقيمة

المحوري هو أي قسم من الاسطوانة يحتوي على محورها. يعني هذا التعريف أن القسم المحوري سيكون دائمًا موازيًا لخط المولد.

في الأسطوانة ، يمر المحور المستقيم عبر مركز الدائرة ويكون عموديًا على مستواها. هذا يعني أن الدائرة قيد النظر ستتقاطع في قطرها. يوضح الشكل نصف الأسطوانة ، وهو نتيجة تقاطع الشكل مع مستوى يمر عبر المحور.

ليس من الصعب فهم أن القسم المحوري لأسطوانة مستديرة مستقيمة هو مستطيل. جوانبها هي قطر d للقاعدة وارتفاع h من الشكل.

دعونا نكتب الصيغ الخاصة بمساحة المقطع المحوري للأسطوانة وطول قطرها h d:

يحتوي المستطيل على قطرين ، لكن كلاهما متساويان. إذا كان نصف قطر القاعدة معروفًا ، فليس من الصعب إعادة كتابة هذه الصيغ من خلاله ، نظرًا لأنه يمثل نصف القطر.

قسم محوري من اسطوانة مائلة

تُظهر الصورة أعلاه أسطوانة مائلة مصنوعة من الورق. إذا قمت بعمل قسمه المحوري ، فلن تحصل على مستطيل ، بل متوازي أضلاع. جوانبها معروفة الكميات. أحدهما ، كما في حالة مقطع الأسطوانة المستقيمة ، يساوي قطر d للقاعدة ، بينما الآخر هو طول المقطع المولّد. نشير إليه ب.

لتحديد لا لبس فيه لمعلمات متوازي الأضلاع ، لا يكفي معرفة أطوال أضلاعه. زاوية بينهما مطلوبة أيضًا. افترض أن الزاوية الحادة بين السكة والقاعدة هي α. ستكون أيضًا الزاوية بين جانبي متوازي الأضلاع. ثم يمكن كتابة صيغة المساحة المحورية للأسطوانة المائلة على النحو التالي:

يعد حساب أقطار المقطع المحوري للأسطوانة المائلة أكثر صعوبة إلى حد ما. متوازي الأضلاع له قطرين بطول مختلف. دعونا نقدم ، بدون اشتقاق ، التعبيرات التي تسمح لنا بحساب أقطار متوازي الأضلاع على طول الأضلاع المعروفة والزاوية الحادة بينهما:

ل 1 = (د 2 + ب 2 - 2 * ب * د * كوس (α)) ؛

ل 2 = √ (د 2 + ب 2 + 2 * ب * د * كوس (α))

هنا l 1 و l 2 هما أطوال القطرين الصغير والكبير ، على التوالي. يمكن الحصول على هذه الصيغ بشكل مستقل إذا اعتبرنا كل قطري متجهًا ، وإدخال نظام إحداثيات مستطيل على المستوى.

مشكلة اسطوانة مستقيمة

دعنا نوضح كيفية استخدام المعرفة المكتسبة لحل المشكلة التالية. دع اسطوانة مستديرة مستقيمة. من المعروف أن المقطع المحوري للأسطوانة هو مربع. ما مساحة هذا المقطع إذا كان الشكل كله 100 سم 2؟

لحساب المساحة المطلوبة ، عليك إيجاد نصف القطر أو قطر قاعدة الأسطوانة. للقيام بذلك ، نستخدم معادلة المساحة الكلية S f من الشكل:

نظرًا لأن القسم المحوري مربع ، فهذا يعني أن نصف القطر r للقاعدة يساوي نصف ارتفاع h. مع وضع ذلك في الاعتبار ، يمكننا إعادة كتابة المساواة المذكورة أعلاه على النحو التالي:

S f = 2 * pi * r * (r + 2 * r) = 6 * pi * r 2

الآن يمكننا التعبير عن نصف القطر r ، لدينا:

نظرًا لأن جانب المقطع المربع يساوي قطر قاعدة الشكل ، فإن الصيغة التالية ستكون صالحة لحساب مساحتها S:

S = (2 * r) 2 = 4 * r 2 = 2 * S f / (3 * pi)

نرى أن المساحة المطلوبة يتم تحديدها بشكل فريد من خلال مساحة سطح الاسطوانة. استبدال البيانات في المساواة ، وصلنا إلى الإجابة: S = 21.23 سم 2.