Предмет математической логики.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

теоретическая логика, символическая логика,- раздел математики, посвященный изучению математич. доказательств и вопросов оснований математики.

Исторический очерк. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математич. доказательств выдвигалась в 17 в. Г. Лейбницем (G. Leibniz). Но только в сер. 19 в. появились первые научные работы по алгебраизации аристотелевод логики [Дж. Буль (G. Boole, 1847) и О. де Морган (A. de Morgan, 1858)]. После того как Г. Фреге (G. Frege, 1879) и Ч. Пирс (С. Peirce, 1885) ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность применить этот язык к вопросам оснований математики.

С другой стороны, создание в 19 в. неевклидовой геометрии сильно поколебало уверенность математиков в абсолютной надежности геометрич. интуиции, на к-рой была основана . Сомнениям в надежности геометрич. интуиции способствовало также то, что в результате развития исчисления бесконечно малых математики натолкнулись на неожиданные примеры всюду непрерывных функций без производных. Появилась потребность отделить понятие действительного числа от неясного понятия "величины", к-рое было основано на геометрич. интуиции. Эта задача была решена разными путями в работах К. Вейерштрасса (К. Weierstrab, P. Дедекинда (R. Dedekind) и Г. Кантора (G. Cantor). Они показали возможность "арифметизации" анализа и теории функций, в результате чего в качестве фундамента всей классич. математики стала рассматриваться целых чисел. Затем была предпринята аксиоматизация арифметики [Р. Дедекинд (1888) и Дж. Пеано (G. Реаnо, 1891)]. При этом Дж. Пеано создал более удобную символику для логич. языка. Пвзже этот язык был усовершенствован в совместном труде Б. Рассела (В. Russell) и А. Уайтхеда (A. Whitehead) "Принципы математики" (1910), где была предпринята попытка сведения всей математики к логике. Но эта попытка не увенчалась успехом, т. к. оказалось невозможным вывести из чисто логич. аксиом существование бесконечных множеств. Хотя логистич. Фреге - Рассела в основаниях математики так и не достигла своей главной цели - сведения математики к логике, в их работах был создан богатый логич. аппарат, без к-рого оформление М. л. как полноценной математич. дисциплины было бы невозможно.

На рубеже 19-20 вв. были обнаружены антиномии, связанные с основными понятиями теории множеств. Наиболее сильное впечатление на современников произвела опубликованная в 1903 Рассела. Пусть Месть всех таких множеств, каждое из к-рых не является своим собственным элементом. Легко убедиться, что Мявляется своим элементом тогда и только тогда, когда Мне является своим элементом. Конечно, можно пытаться выйти из создавшегося противоречия, сделав заключение, что такого множества Мне бывает. Однако, если не может существовать множество, состоящее в точности из всех элементов, удовлетворяющих такому четко определенному условию, к-рое мы имеем в приведенном выше определении множества М, то где гарантия того, что в нашей повседневной работе мы не столкнемся с множествами, к-рые также не могут существовать? И каким, вообще, условиям должно удовлетворять определение множества для того, чтобы оно существовало? Ясно было одно: нужно как-то ограничить канторовскую теорию множеств.

Л. Брауэр (L. Brouwer, 1908) выступил против применения правил классич. логики к бесконечным множествам. В выдвинутой им интуиционистской программе предлагалось отказаться от рассмотрения абстракции актуальной бесконечности, т. е. бесконечных множеств как завершенных совокупностей! Допуская существование сколь угодно больших натуральных чисел, интуиционисты выступают против рассмотрения натурального ряда как завершенного множества. Они считают, что в математике всякое существования того или иного объекта должно быть конструктивным, т. е. должно сопровождаться построением этого объекта. Если предположение о том, что искомый не существует, приведено к противоречию, то это, по мнению интуиционистов, не может рассматриваться как доказательство существования. Особой критике со стороны интупционистов подвергся исключенного третьего закон. Ввиду того, что этот закон первоначально рассматривался применительно к конечным множествам и, учитывая, что многие свойства конечных множеств не выполняются для бесконечных множеств (напр., что всякая собственная часть меньше целого), интуиционисты считают неправомерным применение этого закона к бесконечным множествам. Так, напр., чтобы утверждать, что проблема Ферма имеет положительное или имеет отрицательное решение, интуиционист должен указать соответствующее решение этой проблемы. А пока проблема Ферма не решена, эта считается неправомерной. Такое же требование предъявляется к пониманию всякой дизъюнкции. Это требование интуиционистов может создать затруднения и в случае рассмотрения задач, связанных с конечными множествами. Представим себе, что кто-то, закрыв глаза, достает из урны, в к-рой имеются три черных и три белых шара, и тут же бросает этот шар обратно. Если никто не видел этот шар, то мы не имеем возможности узнать, какого он был цвета. Однако вряд ли можно всерьез оспаривать утверждения, что этот шар был либо черного, либо белого цвета.

Интуиционисты построили свою математику, имеющую интересные своеобразные особенности. Но она оказалась более сложной и громоздкой, чем классич. . Положительный вклад интуиционистов в исследование вопросов оснований математики выразился в том, что они еще раз решительным образом подчеркнули различие между конструктивным и неконструктивным в математике, они провели тщательный анализ многих трудностей, с к-рыми столкнулась математика в своем развитии, и тем самым способствовали их преодолению.

Д. Гильберт (D. Hilbert, см. добавления VII-X в ) наметил другой преодоления трудностей, возникших в основаниях математики на рубеже 19-20 вв. Этот путь, основанный на применении аксиоматич. метода рассмотрения формальных моделей, содержательной математики и на исследовании вопросов непротиворечивости таких моделей надежными финитными средствами, получил в математике название финитизма Гильберта. Признавая ненадежность геометрич. интуиции, Д. Гильберт прежде всего предпринимает тщательный пересмотр евклидовой геометрии, освобождая ее от обращения к интуиции. Результатом такой переработки явились его "Основания геометрии" (1899).

Вопросы непротиворечивости различных теорий по существу рассматривались и до Д. Гильберта. Так, построенная Ф. Клейном (F. Klein, 1871) проективная неевклидовой геометрии Лобачевского сводит вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского к непротиворечивости евклидовой геометрии. Непротиворечивость евклидовой геометрии аналогично можно свести к непротиворечивости анализа, т. е. теории действительных чисел. Однако не видно было, какими средствами можно строить модели анализа и арифметики для доказательства их непротиворечивости. Заслуга Д. Гильберта состоит в том, что он указал прямой путь для исследования этого вопроса. Непротиворечивость данной теории означает, что в ней не может быть получено , т. е. не может быть доказано нек-рое утверждение Аи его Д. Гильберт предложил представить рассматриваемую теорию в виде формальной аксиоматич. системы, в к-рой будут выводимы все те и только те утверждения, к-рые являются теоремами нашей теории. Тогда для доказательства непротиворечивости достаточно установить невыводимость в рассматриваемой теории нек-рых утверждений. Таким образом, математич. , непротиворечивость к-рой мы хотим доказать, становится предметом изучения нек-рой математич. науки, к-рую Д. Гильберт назвал метаматематикой, или теорией доказательств.

Д. Гильберт писал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключенного третьего, а "скорее тем, что математики пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, к-рые в моей теории доказательств исключаются сами собой. ...Отнять у математиков закон исключенного третьего - это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам использовать кулаки" (см. с. 383). Д. Гильберт предлагает различать "действительные" и "идеальные" предложения классич. математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Предложения, соответствующие употреблению актуальной бесконечности, идеальны. Идеальные предложения присоединяются к действительным для того, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощает структуру всей теории подобно тому, как при рассмотрении проективной геометрии на плоскости добавляется бесконечно удаленная , пересекающая любые две в нек-рой точке.

Выдвинутая Д. Гильбертом программа обоснования математики и его энтузиазм вдохновили современников на интенсивную разработку аксиоматического метода. Именно с предпринятой в начале 20 в. Д. Гильбертом и его последователями разработкой теории доказательств на базе развитого в работах Г. Фреге, Дж. Пеано и Б. Рассела логич. языка следует связывать становление М. л. как самостоятельной математич. дисциплины.

Предмет и основные разделы математической логики, связь с другими областями математики. Предмет современной М. л. разнообразен. Прежде всего следует отметить исследование логич. и логико-математич. исчислений, из к-рых основным является классич. предикатов. Еще в 1930 К. Гёдель (К. Godel) доказал теорему о полноте исчисления предикатов, согласно к-рой множество всех чисто логич. утверждений математики совпадает с множеством всех выводимых в исчислении предикатов формул (см. Гёделя о полноте ). Эта теорема показала, что исчисление предикатов является той логич. системой, на базе к-рой можно формализовать математику. На базе исчисления предикатов строятся различные логико-математич. теории (см. Логико-математические исчисления ), представляющие собой формализацию содержательных математич. теорий - арифметики, анализа, теории множеств, теории групп и др. Наряду с элементарными теориями рассматриваются также теории высших порядков, в к-рых допускаются также кванторы по предикатам, предикаты от предикатов и т. д. Традиционными вопросами, к-рые исследуются для тех или иных формальных логич. систем, являются исследования структуры выводов в этих системах, тех или иных формул, вопросы непротиворечивости и полноты рассматриваемых систем.

Доказанная в 1931 Гёделя теорема о неполноте арифметики поколебала оптимистич. надежды Д. Гильберта на полное решение вопросов оснований математики на указанном пути. Согласно этой теореме, если , содержащая арифметику, непротиворечива, то утверждение о ее непротиворечивости, выразимое в этой системе, не может быть доказано средствами, формализуемыми в ней. Это означает, что с вопросами оснований математики дело обстоит не так просто, как хотелось или казалось Д. Гильберту вначале. Но уже К. Гёдель заметил, что непротиворечивость арифметики можно доказывать, пользуясь достаточно надежными конструктивными средствами, хотя и выходящими за рамки средств, формализуемых в арифметике. Аналогичные доказательства непротиворечивости арифметики были получены Г. Генценом (G. Gentzen, 1936) и П. С. Новиковым (1943).

В результате анализа канторовской теории множеств и связанных с ней парадоксов были построены различные системы аксиоматической теории множеств, в к-рых принимается то или иное ограничение на образование множеств, чтобы исключить возникновение известных антиномий. В этих аксиоматич. системах могут быть развиты довольно обширные разделы математики. Вопрос о непротиворечивости достаточно богатых аксиоматич. систем теории множеств остается открытым. Из наиболее значительных результатов, полученных в аксиоматич. теории множеств, следует отметить результат К. Гёделя о непротиворечивости континуум-гипотезы и выбора аксиомы в системе Бернайса - Гёделя (1939) и результат П. Коэна (P. Cohen, 1963) о независимости этих аксиом от аксиом системы Цермело-Френкеля ZF. Отметим, что эти две системы аксиом и ZF равнонепротиворечивы. Для доказательства своих результатов К. Гёдель ввел важное понятие конструктивного множества (см. Конструктивное по Гёдeлю множество ).и показал существование модели системы состоящей из таких множеств. Метод К. Гёделя был использован П. С. Новиковым для доказательства непротиворечивости нек-рых других утверждений дескриптивной теории множеств (1951). Для построения моделей теории множеств ZF, в к-рых выполняются отрицания континуум-гипотезы или аксиомы выбора, П. Коэн ввел так наз. вынуждения метод, к-рый впоследствии был усовершенствован и стал основным методом построения моделей теории множеств, удовлетворяющих тем или иным свойствам.

Одним из наиболее замечательных достижений М. л. явилась разработка понятия общерекурсивной функции и формулировка Чёрча тезиса, утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма. Из других эквивалентных уточнений понятия алгоритма наибольшее распространение получили понятия Тьюринга машины и нормального алгорифма Маркова. По существу вся математика связана с теми или иными алгоритмами. Но только после уточнения понятия алгоритма появилась возможность обнаружить существование неразрешимых алгоритмических проблем в математике. Неразрешимые алгоритмич. проблемы были обнаружены во многих разделах математики ( , теория чисел, теория вероятностей и др.), причем оказалось, что они могут быть связаны с очень распространенными и фундаментальными понятиями математики. Исследование алгоритмич. проблем в той или иной области математики, как правило, сопровождается проникновением идей и методов М. л. в эту , что приводит к решению также и других проблем, уже не имеющих алгоритмич. характера.

Разработка точного понятия алгоритма дала возможность уточнить понятие эффективности и развивать на базе такого уточнения конструктивное в математике (см. Конструктивная математика ), воплотившее в себе нек-рые черты интуиционистского направления, но существенно отличающееся от последнего. Были созданы основы конструктивного анализа, конструктивной топологии, конструктивной теории вероятностей и др.

В самой теории алгоритмов можно выделить исследования в области рекурсивной арифметики, куда входят различные классификации рекурсивных и рекурсивно-перечислимых множеств, степени неразрешимости рекурсивно-перечислимых множеств, исследования сложности записи алгоритмов и сложности алгоритмич. вычислений (по времени и по зоне, см. Алгоритма слож ность ). Обширным развивающимся разделом теории алгоритмов является теория нумераций.

Как отмечалось выше, аксиоматич. метод оказал большое влияние на развитие многих разделов математики. Особенно значительным было проникновение этого метода в алгебру. Так, на стыке М. л. и алгебры возникла общая теория алгебраических систем, или моделей теория. Это направление было заложено в работах А. И. Мальцева, А. Тарского (A. Tarski) и их учеников. Здесь можно отметить исследования по элементарным теориям классов моделей, в частности вопросы разрешимости этих теорий, аксиоматизируемость классов моделей, моделей, вопросы категоричности и полноты классов моделей.

Важное место в теории моделей занимает исследование нестандартных моделей арифметики и анализа. Еще на заре развития дифференциального исчисления в работах Г. Лейбница (G. Leibniz) и И. Ньютона (I. Newton) бесконечно малые и бесконечно большие величины рассматривались как числа. Позже появилось понятие переменной величины, и математики отказались от употребления бесконечно малых чисел, к-рых отличен от нуля и меньше любого положительного действительного числа, т. к. их употребление потребовало бы отказа от аксиомы Архимеда. И только через три столетия в результате развития методов М. л. удалось установить, что (нестандартный) анализ с бесконечно малыми и бесконечно большими числами непротиворечив относительно обычного (стандартного) анализа действительных чисел.

Не обошлась без влияния аксиоматич. метода и интуиционистская математика. Так, еще в 1930 А. Рейтинг (A. Heyting) ввел в рассмотрение формальные системы интуиционистской логики высказываний и предикатов (конструктивные исчисления высказываний и предикатов). Позже были введены формальные системы интуиционистского анализа (см., напр., ). Многие исследования по интуиционистской логике и математике имеют дело с формальными системами. Подвергались специальному изучению также так наз. промежуточные логики (или суперинтуиционистские), т. е. логики, лежащие между классической и интуиционистской логиками. Понятие реализуемости формул по Клини представляет одну из попыток интерпретировать понятие интуиционистской истинности с точки зрения классич. математики. Однако оказалось, что не всякая реализуемая исчисления высказываний выводима в интуиционистском (конструктивном) исчислении высказываний.

Подверглась формализации также и модальная логика. Однако, несмотря на наличие большого числа работ по формальным системам модальной логики и по их семантике (Крипке модели ), можно сказать, что здесь происходит процесс накопления пока еще разрозненных фактов.

М. л. имеет большое прикладное значение; с каждым годом растет глубокое проникновение идей и методов М. л. в кибернетику, в вычислительную математику, в структурную лингвистику.

Лит. : Гильберт Д., Б е р н а й с П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979; К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. сангл., 2 изд., М., 1976; Новиков П. С., Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; Е р ш о в Ю. Л., Палютин Е. А., Математическая логика, М., 1979; Ш е н ф и л д Д. Р., Математическая логика, пер. с англ., М., 1975; Н о в и к о в П. С., Конструктивная математическая логика с точки зрения классической, М., 1977; К л и н и С. К., В е с л и Р., Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций, пер. с англ., М., 1978; Гильберт Д., Основания геометрик, пер. с нем., М., 1948; Френкель А.-А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978; Mostowski A., Thirty years of foundational studies, Hels., 1965.

См. также лит. при статьях об отдельных разделах М. л.

С. И. Адян.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА" в других словарях:

Одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение… … Философская энциклопедия

Математическая логика, как и классическая логика, исследует процессы умозаключений и позволяет из истинности одних суждений делать выводы об истинности или ложности других, независимо от их конкретного содержания. Использование в логике математических методов (алгебраизация логики и построение логических исчислений) дало начало развитию новой области математики, называемой «Математической логикой». Основная задача математической логики – формализация знаний и рассуждений. Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, поэтому математическая логика, по существу, – наука о математике.

Математическая логика дала средства для построения логических теорий и вычислительный аппарат для решения задач. Математическая логика и теория алгоритмов нашли широкое применение в различных областях научных исследований и техники (например, в теории автоматов, в лингвистике, в теории релейно-контактных схем, в экономических исследованиях, в вычислительной технике, в информационных системах и др.). Основные понятия математической логики лежат в основе таких ее приложений, как базы данных, экспертные системы, системы логического программирования. Эти же понятия становятся методологической основой описания анализа и моделирования автоматизированных интегрированных производств.

Вопросы, исследуемые математической логикой, могут рассматриваться как средствами семантической (смысловой) теории, в основе которой лежит понятие алгебры, так и формально-аксиоматической (синтаксической) теории, базирующейся на понятии логического исчисления. В данном курсе рассматриваются оба этих подхода, начав с алгебры высказываний, которая затем обобщается алгеброй предикатов, и обе они служат пониманию построения логических исчислений и их частных случаев: исчисления высказываний и исчисления предикатов.

Раздел I. Алгебра высказываний

Алгебру высказываний можно рассматривать как переложение на другой (алгебраический) язык результатов, изученных в разделе «Булевы функции», использующем функциональный язык. При функциональном подходе каждой из логических операций и формул сопоставляется определённая двузначная функция. При алгебраическом подходе логические операции интерпретируют как алгебраические, действующие на множестве двух элементов.

1. Высказывания и операции над ними. Формулы

Высказыванием называется всякое утверждение, о котором можно вполне определенно и объективно сказать истинно оно или ложно.

Например, утверждение "2 > 0" является высказыванием и оно истинно, а утверждение "2 < 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Различают высказывания простые и сложные, высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. Простые высказывания будем обозначать начальными заглавными буквами латинского алфавита A, B, C или A 1 , A 2 , . . .. Сложные высказывания характеризуются тем, что образованы из нескольких простых высказываний с помощью логических операций, т.е. являются формулами алгебры высказываний.

Напомним, что алгебраической структурой или алгеброй называется структура, образованная некоторым множеством вместе с введенными на нём операциями. Определим алгебру высказываний.

Обозначим через B = {0, 1} – множество высказываний. Определим операции на множестве B .

Отрицанием высказывания A называется высказывание, которое принимает значение истина, если A ложно, и наоборот. Отрицание обозначается (А) и является унарной операцией.

Пусть А и В - некоторые высказывания, введем бинарные операции над ними.

Конъюнкцией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение истина тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания A и B. Обозначается конъюнкция - AB (АВ).

Дизъюнкцией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение истина, если истинно хотя бы одно из высказываний A или B. Обозначается дизъюнкция - AB.

Импликацией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение ложь тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. Обозначается АВ.

Эквиваленцией высказываний A и B называется высказывание, которое принимает значение истина тогда и только тогда, когда высказывания A и B имеют одинаковые значения. Обозначение операции - АВ (АВ).

Логические операции определяются, также, с помощью таблиц, называемых таблицами истинности . Приведем сводную таблицу истинности для всех введенных логических операций.

Пропозициональной (высказывательной) переменной называется переменная, значениями которой являются простые высказывания. Обозначим высказывательные переменные через X 1 , X 2 , . . . , X n .

Понятие формулы алгебры высказываний вводится по индукции. Формулами алгебры высказываний являются:

1) логические константы 0 и 1;

2) пропозициональные переменные;

3) если А и В – формулы, то каждое из выражений (А) , (А)  (В ), (А)  (В ), (А)  (В ), (А) ~ (В ) есть формула;

4) других формул, кроме построенных по пп. 1) - 3), нет.

Обозначим через M – множество всех формул алгебры высказываний, M является замкнутым относительно логических операций.

Для формулы построенной по п. 3 формулы A и B называются подформулами. Число скобок в формуле можно сократить, Порядок выполнения операций в формуле определяется их приоритетом. Список логических операций в порядке убывания приоритета:
~. Изменение порядка выполнения операций, как и в алгебраических операциях, производится с помощью круглых скобок.

Пусть U – формула над высказывательными переменными X 1 , X 2 , . . . , X n , обозначается U (X 1 , X 2 , . . . , X n ). Набор конкретных значений высказывательных переменных X 1 , X 2 , . . . , X n называется интерпретацией формулы U и обозначаетсяI (U ).

Формула называется выполнимой , если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 1 (существует интерпритация I (U ), на которой формула истинна).

Формула называется опровержимой , если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 0 (существует интерпритация I (U ), на которой формула ложна).

Формула называется тождественно истинной (ТИ-формулой) или тавтологией , если эта формула принимает значение 1 при всех наборах значений переменных (формула истинна на всех интерпретациях).

Формула называется тождественно ложной (ТЛ-формулой) или противоречием , если эта формула принимает значение 0 при всех наборах значений переменных (формула ложна на всех интерпретациях).

Формулы А и В называются эквивалентными (обозначается А  В ), если при любых значениях высказывательных переменных значение формулы А совпадает со значением формулы В .

Задачи определения эквивалентности, выполнимости, опровержимости, тождественной истинности и ложности формул могут решаться с помощью построения таблиц истинности, однако существуют менее громоздкие способы решения этих задач.

«Если все вороны черные, то все нечерные предметы – не вороны». Это высказывание несомненно истинно, и, чтобы утверждать это, не нужно быть знатоком птиц. Точно так же не нужно быть специалистом в теории чисел, чтобы сказать, что если все совершенные числа четны, то все нечетные числа несовершенны. Мы привели примеры утверждений, истинных независимо от смысла входящих в них понятий (вороны, черные, совершенные, четные) – истинных уже в силу самой своей формы. Изучение такого рода утверждений входит в задачу логики. Более общо: логика изучает правильные способы рассуждений – такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные посылки.

Предметом математической логики служат в основном рассуждения. При их изучении она пользуется математическими методами. Разъясним сказанное.

Математики строят и развивают математические теории, дают определения, доказывают теоремы и т.п. Специалисты по математической логике, наблюдая за этим, анализируют, как математики это делают и что при этом получается. Образно говоря, соотношение между математикой и математической логикой похоже на соотношение между концертом и теорией музыки. Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.

«Книга философии – это то, что всегда раскрыто перед нашими глазами, но так как она написана иными буквами, чем буквы нашего алфавита, то она не может быть прочитана всеми буквами этой книги являются треугольники, круги, шары, конусы, пирамиды и другие математические фигуры, очень пригодные для чтения ее». Г. Галилей

Установив, что изучает математическая логика, перейдем к тому, как она это делает. Нам уже известно, что она пользуется математическими методами. Объясним, что это значит. Как применяются математические методы, например, в физике? Строится математическая модель рассматриваемого физического процесса, отражающая какие-то его существенные свойства. Математические методы могут применяться не только в физике, но и в других науках. Например, применение математических методов в биологии состоит в построении математических моделей биологических процессов. Можно строить математические модели и для процесса развития математических теорий. Это и делает математическая логика.

Как устроена математическая теория? Она содержит какие-то утверждения. Некоторые из них принимаются без доказательств, другие удается доказать (в этом случае утверждения называют теоремами). Значение слов «утверждение» и «доказательство» в повседневной практике весьма расплывчато. Поэтому если мы хотим строить математическую модель, то первым делом нужно уточнить эти понятия, т.е. построить их формальные аналоги в нашей модели. Для этого математические логики придумали специальные формальные языки, предназначенные для записи математических утверждений. Утверждения, записанные на формальных языках, называют формулами, чтобы отличить их от предложений естественных языков. Построив формальный язык, мы получаем возможность записывать некоторые математические утверждения в виде формул. Этого, разумеется, еще не достаточно. Нам нужно уметь записывать формально не только утверждения, но и доказательства. Для этого математические логики придумали формальный аналог понятия «доказательство» - понятие вывода (доказательства, записанного на формальном языке). Формальным аналогом понятия «теорема» является понятие «выводимая формула» (т.е. формула, имеющая вывод). Формальный язык вместе с правилами построения выводов называется формальной системой.

Какие требования естественно предъявлять к формальной системе? Мы хотим, чтобы она была как можно более похожа на «живую», неформальную математику. Для этого нужно, чтобы все интересующие нас содержательные утверждения (или, по крайней мере, большая их часть) могли быть «переведены на формальный язык», т.е. записаны в виде формул этой системы. Кроме того, нужно, чтобы неформальные доказательства можно было перевести в выводы соответствующих формул.

В настоящее время построены вполне удовлетворительные модели (формализации) большинства математических теорий. Наиболее важны формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств. Формальная арифметика предназначается для формализации рассуждений о натуральных числах, а аксиоматическая теория множеств – о множествах.

Основным предметом математической логики, таким образом, является построение и изучение формальных систем. Центральным результатом здесь является доказанная в 1931 г. австрийским математиком К. Геделем теорема о неполноте, утверждающая, что для любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в ней предложения, т.е. такие формулы , что ни сама формула , ни ее отрицание не имеют вывода. Если отождествить формальную систему с соответствующей областью математики, то можно сказать, что в любой «достаточно разумной» области математики есть утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Мы не можем здесь точно сказать, что именно требуется от «достаточно разумной» формальной системы; отметим лишь, что большинство формальных систем (в том числе формальная арифметика и аксиоматическая теория множеств) удовлетворяют этим требованиям. На примере теоремы о неполноте мы видим, какую пользу приносит построение формальной системы: мы получаем возможность доказать, что какие-то утверждения недоказуемы!

Изучение формальных систем привело к возникновению многих важных направлений в современной математической логике. Назовем некоторые из них. Теория моделей исследует вопрос о том, как можно придать «смысл» выражениям формальных языков и что при этом получается. Теория доказательств изучает свойства выводов в формальных системах. Важнейшим разделом логики, который сейчас уже можно рассматривать как самостоятельную дисциплину, является теория алгоритмов.

Многие знаки, придуманные логиками для построения формальных систем, постепенно вошли в общее употребление. К ним относятся логические связки (конъюнкция, «и»), (дизъюнкция, «или»), (импликация, «если... то...»), (отрицание, «неверно, что») и так называемые кванторы (всеобщности, «для всех») и (существования, «существует»). Смысл логических связок, помимо указанных в скобках названий, разъясняется так называемыми таблицами истинности. Эти таблицы показывают, будет ли сложное утверждение, составленное с помощью логических связок из простых, истинно (И) или ложно (Л) в зависимости от истинности его составных частей. Приведем их.

Например, пятый столбец показывает, что утверждение может быть ложно, только если истинно, а ложно. С помощью этих таблиц можно составить таблицу истинности и для более сложных утверждений, например для утверждения .

Составив ее, мы увидим, что это утверждение (шестой столбец) всегда истинно, независимо от истинности утверждений и (например, утверждение «

которые получаются, если подставить вместо утверждение « – ворона», а вместо - « – черная» или вместо - « – совершенные», а вместо - « – четные».

Основная идея математической логики - формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания - математические. Таким образом, математическая логика, по-существу, - наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство"". Действительно, ``доказательные"" (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения - единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим"" процессом переписывания текста (формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями. Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью (или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. При этом используют термин семантика (синоном слова ``смысл"") и чётко разделяют синтаксис и семантику. Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют термин ``формальная система"". Мы будем использовать синоним этого термина - ``исчисление"" (используются ещё термины ``формальная теория"" и ``аксиоматика""). Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы.

Формальная система определена, если:

Задан алфавит (множество символов, используемых для построения формул).

Выделено множество формул, называемых аксиомами. Это - стартовые точки в выводах.

Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу.

Основные принципы операций

Отрицание

Отрицание логического высказывания -- логическое высказывание, принимающее значение "истинно", если исходное высказывание ложно, и наоборот. Это специальная логическая операция. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание, свойства и роли которых существенно различаются.

1. Внешнее отрицание (пропозициональное) служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нем утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. Традиционно отрицательное высказывание считается истинным, если, и только если, отрицаемое высказывание ложно. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что», за которым следует отрицаемое высказывание.

В языках формальных теорий отрицание называется особая унарная пропозициональная связка, используемая для образования из одной формулы другой, более сложной. Для обозначений отрицание обычно используются символы «отрицание», «-» или «-- 1». В классической логике высказываний формула -А истинна тогда и только тогда, когда формула А ложна.

Однако в неклассической логике отрицание может не обладать всеми свойствами классического отрицания. В этой связи возникает вполне закономерный вопрос о минимальном наборе свойств, которому должна удовлетворять некоторая унарная операция, чтобы ее можно было считать отрицанием, а также о принципах классификации различных отрицаниях в неклассических формальных теориях (см.: Dunn J.M. and Hardegree G.M.Algebraic Methods in Philosophical Logic. Oxford, 2001).

Фактически указанное выше традиционное понимание внешнего (пропозиционального) отрицания может быть выражено через систему следующих требований: (I) Если А -- истинно (ложно), то не-А -- ложно (истинно); (II) Если не-А -- истинно (ложно), то А -- ложно (истинно). Формально требования (I) и (II) могут быть выражены через условие (1) А р--iB=>B (= --, А, называемое «конструктивная контрапозиция». Отрицание, удовлетворяющее условию (1), принято называть минимальным отрицанием. Однако оказывается, что условие (1) можно разложить на два более слабых условия: (2) А (= В=>-,В р-Аи(3)А(= -- 1 -- А, известных, соответственно, как «контрапозиция» и «введение двойного отрицания». В результате появляется возможность выявить подминимальное отрицание, удовлетворяющее условию (2), но не удовлетворяющее условию (3). Естественно сформулировать условие, обратное (3) и формализующее принцип «снятие двойного отрицания»: (4) --. - А = А. Минимальное отрицание (т.е. удовлетворяющее условию (1) или условиям (2) и (3) вместе), для которого выполняется условие (4), называется отрицание де Моргана. Минимальное отрицание, удовлетворяющее дополнительному свойству (5): Если А -- * В, то для любого С верно, что А р С («свойство абсурдности»), -- называется интуиционистским отрицанием. Можно сформулировать принцип (6), двойственный принципу абсурдности: Если В |=Аи--S р А, то для любого С верно, что С р А. Удовлетворяющее этому принципу отрицания. представляет собой разновидность отрицания в паранепротиворечивой логике. Наконец, отрицание де Моргана (свойства (2), (3), (4)), для которого выполняется (5) или (6), называется орто-отрицание Если в соответствующем исчислении принимается аксиома дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции, то орто-отрицание называется отрицание Буля, или классическим отрицанием.

2. Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания. Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное отрицание.

Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии каких-то отношений («Иван не знает Петра»), или для образования отрицательной предицирующей связки в составе категорических атрибутивных суждений.

Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не» или близкие ей по смыслу («Все неспелые яблоки -- зеленые»).

Конъюнкция

Конъюнкция двух логических высказываний -- логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны (от лат. conjunctio -- союз, связь), в широком смысле -- сложное высказывание, образованное с помощью союза «и». В принципе можно говорить о конъюнкции бесконечного числа высказываний (например, о конъюнкции всех истинных предложений математики). В логике конъюнкцией называют логическую связку (операцию, функцию; обозначают: &,); образованное с её помощью сложное высказывание истинно только при условии одинаковой истинности его составляющих. В классической логике высказываний конъюнкция вместе с отрицанием составляют функционально-полную систему пропозициональных связок. Это означает, что через них можно определить любую другую пропозициональную связку. Одним из свойств конъюнкции является коммутативность (т. е. эквивалентность А & В и В & А). Однако, иногда, говорят о некоммутативной, т. е. упорядоченной конъюнкции (примером высказывания с такой конъюнкции может служить: «Ямщик свистнул, и лошади поскакали»).

Дизъюнкция

Дизъюнкция двух логических высказываний -- логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно

(от лат. disjunctio -- разобщение, обособление), в широком смысле -- сложное высказывание, образованное из двух или более предложений с помощью союза «или», выражающего альтернативность, или выбор.

В символической логике дизъюнкцией называют логическую связку (операцию, функцию), образующую из предложений А и В сложное высказывание, обозначаемое обычно как А V В, которое является истинным при истинности по крайней мере одного из двух дизъюнктивных членов: А или В.

В классической логике дизъюнкция вместе с отрицанием образует функционально-полную систему пропозициональных связок, что позволяет определить через них другие пропозициональные связки.

Традиционно принято отличать рассмотренную (нестрогую) дизъюнкцию от строгой (разделительной) дизъюнкции, для которой характерно то, что соответствующее высказывание истинно при условии, когда истинен один и только один дизъюнктивный член.

Импликация

Импликация двух логических высказываний A и B -- логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно (от лат. implicatio -- сплетение, от implico -- тесно связываю) -- логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если.., то...», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) -- высказывание, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) -- высказывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль, как в повседневных, так и в научных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путем ссылки на нечто другое.

Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа ее относительно ясна. Эта связь может быть, в частности, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны и медуза является таким существом, то она смертна»). Связь может представлять собой закон природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться») или причинную связь («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение»). Рассматриваемая связь может иметь также характер социальной закономерности, правила, традиции и т.п. («Если меняется экономика, меняется и политика», «Если обещание дано, оно должно быть выполнено»).

Связь, выражаемая условным высказыванием, предполагает, что консеквент с определенной необходимостью «вытекает» из антецедента и что есть некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы можем логически вывести консеквент из антецедента. Например, условное высказывание «Если висмут-- металл, он пластичен» предполагает общий закон «Все металлы пластичны», делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.

И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание, кроме функции обоснования, может выполнять также целый ряд других задач. Оно может формулировать условие, не связанное с к.-л. подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»), фиксировать какую-то последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»), выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите задачу, я докажу великую теорему Ферма»), противопоставление («Если в огороде растет капуста, то в саду растет яблоня») и т.п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняет его анализ.

В логических системах абстрагируются от особенностей обычного употребления условного высказывания, что ведет к различным импликациям. Наиболее известны из них импликация материальная, строгая импликация и релевантная (уместная) импликация.

Материальная импликация -- одна из основных связок классической логики. Определяется она таким образом: импликация ложна только в случае истинности антецедента и ложности консеквента и истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «Если А, то В» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чем говорится в А и В; выражение «А материально имплицирует В» такой связи не предполагает.

Строгая импликация определяется через модальное понятие (логической) невозможности: «А строго имплицирует В» означает «Невозможно, чтобы А было истинно, а В ложно».

В релевантной логике импликация понимается как условный союз в его обычном смысле. В случае релевантной импликация нельзя сказать, что истинное высказывание может быть обосновано путем ссылки на любое высказывание и что с помощью ложного высказывания можно обосновать какое угодно высказывание.

Эквивалентность

Эквивалентность двух логических высказываний -- логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны (от позднелат. equivalens - равноценный) - родовое наименование всевозможных отношений типа равенства, т.е. рефлексивных, симметричных и транзитивных бинарных отношений. Примеры: эквиполентность (совпадение по смыслу, значению, содержанию, выразительным и (или) дедуктивным возможностям между понятиями, концепциями, науч. теориями или формализующими их формальными системами) конгруентность или подобие геометрия, фигур; изоморфизм; равномощность множеств и другие эквивалентность каких-либо объектов означает их равенство (тождество) в каком-либо отношении

(например, изоморфные множества неразличимы по своей "структуре", если под "структурой" понимать совокупность тех их свойств, относительно которых эти множества изоморфны). Всякое отношение эквивалентности порождает разбиение множества, на котором оно определено, на попарно не пересекающиеся "классы эквивалентности " в один класс относят при этом эквивалентные друг другу элементы данного множества.

Рассмотрение классов эквивалентности в качестве новых объектов представляет собой один из основных способов порождения (введения) абстрактных понятий в логико-математических (и вообще естественно-научных) теориях. Так, считая эквивалентными дроби a/b и c/d с целыми числителями и знаменателями, если ad=bc, вводят в рассмотрение рациональные числа как классы эквивалентных дробей; считая эквивалентными множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, вводят понятие мощности (кардинального числа) множества (как класс эквивалентных между собой множеств); считая эквивалентными два куска вещества, вступающие в равных условиях в одинаковые химических реакции, приходят к абстрактному понятию химического состава и т.п.

Термин " эквивалентность" употребляют часто не (только) как родовой, а как синоним некоторых из его частных значений ("эквивалентность теорий" вместо "эквивалентность", " эквивалентность множеств" вместо "равномощность", " эквивалентность слов" в абстрактной алгебре вместо "тождество" и т.п.).

Кванторное высказывание

Кванторное с квантором всеобщности.

Кванторное логическое высказывание с квантором всеобщности ("xA(x)) -- логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное с квантором существования.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования ($xA(x)) -- логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

Структура математической логики

Раздел «математическая логика» состоит из трёх частей: по неформальному аксиоматическому методу, по логике высказываний и по логике предикатов (первого порядка). Аксиоматический метод построения - первый шаг на пути к формализации теории. Большинство задач, рассматриваемых в математической логике, состоит в доказательстве некоторых утверждений. Математическая логика имеет много разветвлений. Она применяет табличное построение логики высказываний, использует специальный язык символов и формулы логики высказываний.

Неформальный аксиоматический метод

Аксиоматический метод, не фиксирующий жестко применяемого языка и тем самым не фиксирующий границы содержательного понимания предмета, но требующий аксиоматического определения всех специальных для данного предмета исследования понятий. Этот термин не имеет общепринятого толкования.

История развития аксиоматического метода характеризуется все возрастающей степенью формализации. Неформальный аксиоматический метод - определенная ступень в этом процессе.

Первоначальное, данное Евклидом, аксиоматическое построение геометрии отличалось дедуктивным характером изложения, при котором в основу клались определения (пояснения) и аксиомы (очевидные утверждения). Из них, опираясь на здравый смысл и очевидность, выводились следствия. При этом в выводе неявно иногда использовались не зафиксированные в аксиомах предположения геометрия, характера, особенно относящиеся к движению в пространстве и взаимному расположению прямых и точек. Впоследствии были выявлены геометрия, понятия и регламентирующие их употребление аксиомы, неявно используемые Евклидом и его последователями. При этом возникал вопрос: действительно ли выявлены все аксиомы. Руководящий принцип для решения этого вопроса сформулировал Д. Гильберт (D. Hilbert): "Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках". Если доказательство не теряет доказательной силы после такой замены, то действительно все используемые в этом доказательстве специальные предположения зафиксированы в аксиомах. Достигаемая при таком подходе степень формализации представляет собой уровень формализации, характерный для неформального аксиоматического метода. Эталоном здесь может служить классический труд Д. Гильберта "Основания геометрии" .

Неформальный аксиоматический метод применяется не только для придания определенной завершенности аксиоматически излагаемой конкретной теории. Он представляет собой действенное орудие математического исследования. Поскольку при изучении системы объектов по этому методу не используется их специфика, или "природа", то доказанные утверждения переносятся на любую систему объектов, удовлетворяющую рассматриваемым аксиомам. Согласно неформальному аксиоматическому методу, аксиомы - это неявные определения первоначальных понятий (а не очевидные истины). Что представляют собой изучаемые объекты - неважно. Все, что нужно о них знать, сформулировано в аксиомах. Предметом изучения аксиоматической теории служит любая ее интерпретация.

Неформальный аксиоматический метод, кроме непременного аксиоматического определения всех специальных понятий, имеет и другую характерную особенность. Это свободное, неконтролируемое аксиомами, основанное на содержательном понимании использование идей и понятий, которые можно применить к любой мыслимой интерпретации, независимо от ее содержания. В частности, широко используются теоретико-множественные и логического понятия и принципы, а также понятия, связанные с идеей счета, и др. Проникновение в аксиоматический метод рассуждений, основанных на содержательном понимании и здравом смысле, а не на аксиомах, объясняется не фиксированностью языка, на котором формулируются и доказываются свойства аксиоматически заданной системы объектов. Фиксирование языка ведет к понятию формальной аксиоматической системы и создает материальную основу для выявления и четкого описания допустимых логических принципов, для контролируемого употребления теоретико-множественных и других общих или не специальных для исследуемой области понятий. Если в языке нет средств (слов) для передачи теоретико-множественных понятий, то этим отсеиваются все доказательства, основанные на использовании таких средств. Если в языке есть средства для выражения некоторых теоретико-множественных понятий, то их применение в доказательствах можно ограничить определенными правилами или аксиомами.

Фиксируя различным образом язык, получают различные теории основного объекта рассмотрения. Например, рассматривая язык узкого исчисления предикатов для теории групп, получают элементарную теорию групп, в которой нельзя сформулировать какого-либо утверждения о подгруппах. Если перейти к языку исчисления предикатов второй ступени, то появляется возможность рассматривать свойства, в которых фигурирует понятие подгруппы. Формализацией неформальный аксиоматический метод в теории групп служит переход к языку системы Цермело - Френкеля с ее аксиоматикой.

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения)-- аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение науки на основе аксиоматический метод обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для аксиоматический метод, применяются во многих науках, однако главная область его приложения -- математика, логика, а также некоторые разделы физики.

Идея аксиоматический метод впервые была высказана в связи с построением геометрии в Древней Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для современной стадии развития аксиоматический метод характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального аксиоматический метод, которая ставит задачу точного описания логических средств вывода теорем из аксиом. Основная идея Гильберта -- полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при некоторой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом(и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) -- это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Основные требования, предъявляемые к аксиоматическим формальным системам,-- непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Гёделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности аксиоматического метода. Основные принципы аксиоматические методы были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления.

Одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение… … Философская энциклопедия

математическая логика - ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ, математическая логика, теоретическая логика область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «Л. с.» был, по видимому, впервые… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - Ее еще называют символической логикой. М. л. это та же самая Аристотелева силлогистическая логика, но только громоздкие словесные выводы заменены в ней математической символикой. Этим достигается, во первых, краткость, во вторых, ясность, в… … Энциклопедия культурологии

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика, дедуктивная логика, использующая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений … Современная энциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике … Большой Энциклопедический словарь

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - (символическая логика), аналитический раздел логики, результат применения математических методов к проблемам классической логики. Рассматривает понятия, которые могут быть истинными или ложными, связь между понятиями и оперирование ими, включая… … Научно-технический энциклопедический словарь

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - один из ведущих разделов современной логики и математики. Сформировался в 19 20 ст. как реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на языке знаков, аналогичных математическим и тем самым заменить рассуждения вычислениями.… … Новейший философский словарь

математическая логика - сущ., кол во синонимов: 1 логистика (9) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

математическая логика - — Тематики электросвязь, основные понятия EN mathematical logic … Справочник технического переводчика

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - теоретическая логика, символическая логика, раздел математики, посвященный изучению математич. доказательств и вопросов оснований математики. Исторический очерк. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе… … Математическая энциклопедия

Книги

• Математическая логика , Ершов Юрий Леонидович, Палютин Евгений Андреевич. В книге изложены основные классические исчисления математической логики: исчисление высказываний и исчисление предикатов; имеется краткое изложение основных понятий теории множеств и теории… Купить за 1447 грн (только Украина)
• Математическая логика , Ершов Ю.Л.. В книге изложены основные классические исчисления математической логики: исчисление высказываний и исчисление предикатов; имеется краткое изложение основных понятий теории множеств и теории…