متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية. يوضح الشكل التالي متوازي الأضلاع ABCD. الضلع AB يوازي الضلع CD والجانب BC يوازي الضلع AD.
كما قد تكون خمنت ، متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب. ضع في اعتبارك الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع.
خصائص متوازي الأضلاع
1. في متوازي الأضلاع ، الزوايا المتقابلة والأضلاع المتقابلة متساوية. دعنا نثبت هذه الخاصية - ضع في اعتبارك متوازي الأضلاع الموضح في الشكل التالي.
يقسمها قطري BD إلى مثلثين متساويين: ABD و CBD. إنهما متساويان في الضلع BD وزاويتان مجاورتان له ، لأن الزاويتين الواقعتين عند القاطع BD هما خطان متوازيين BC و AD و AB و CD على التوالي. لذلك ، AB = CD و
BC = م. ومن مساواة الزوايا 1 ، 2 ، 3 ، 4 تتبع الزاوية أ = الزاوية 1 + الزاوية 3 = الزاوية 2 + الزاوية 4 = الزاوية ج.
2. يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع. اجعل النقطة O هي نقطة تقاطع الأقطار AC و BD من متوازي الأضلاع ABCD.
إذن ، المثلث AOB والمثلث COD متساويان ، على طول الضلع وزاويتين متجاورتين له. (AB = CD لأنهما جانبان متقابلان من متوازي الأضلاع. والزاوية 1 = الزاوية 2 والزاوية 3 = الزاوية 4 كزاوية متقاطعة عند تقاطع الخطين AB و CD بواسطة القاطعين AC و BD على التوالي.) ويتبع ذلك أن AO = OC و OB = OD ، والتي يجب إثباتها.
جميع الخصائص الرئيسية موضحة في الأشكال الثلاثة التالية.
عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع ، بالإضافة إلى الخصائص الأساسية متوازي الاضلاعوالصيغ المقابلة ، يمكنك تذكر وتطبيق ما يلي:
- منصف الزاوية الداخلية لمتوازي أضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين
- منصفات الزوايا الداخلية المتاخمة لأحد جانبي متوازي الأضلاع متعامدة بشكل متبادل
- تأتي المنصفات من زوايا داخلية متقابلة في متوازي الأضلاع ، موازية لبعضها البعض أو تقع على خط مستقيم واحد
- مجموع مربعات قطري متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه
- مساحة متوازي الأضلاع هي نصف حاصل ضرب الأقطار في جيب الزاوية بينهما.
دعنا نفكر في المهام في الحل التي تستخدم هذه الخصائص.
مهمة 1.
منصف الزاوية C من متوازي الأضلاع ABCD يتقاطع مع الجانب AD عند النقطة M وامتداد الجانب AB بعد النقطة A عند النقطة E. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان AE \ u003d 4، DM \ u003d 3.
المحلول.
1. مثلث CMD متساوي الساقين. (خاصية 1). لذلك ، CD = MD = 3 سم.
2. مثلث EAM متساوي الساقين.
لذلك ، AE = AM = 4 سم.
3. AD = AM + MD = 7 سم.
4. محيط ABCD = 20 سم.
إجابه. 20 سم
المهمة 2.
يتم رسم الأقطار في شكل رباعي محدب ABCD. من المعروف أن مساحات المثلثات ABD و ACD و BCD متساوية. إثبات أن الشكل الرباعي المعطى متوازي أضلاع.
المحلول.
1. لنفترض أن يكون ارتفاع المثلث ABD و CF هو ارتفاع المثلث ACD. بما أن مناطق المثلثات متساوية وفقًا لظروف المشكلة ولديها قاعدة مشتركة AD ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. BE = CF.
2. تكون BE ، CF متعامدة مع AD. تقع النقطتان B و C على نفس الجانب من الخط AD. BE = CF. لذلك ، الخط BC || ميلادي. (*)
3. دع AL يكون ارتفاع المثلث ACD ، BK ارتفاع المثلث BCD. نظرًا لأنه ، وفقًا لظروف المشكلة ، فإن مناطق المثلثات متساوية ولديها قرص مضغوط قاعدي مشترك ، فإن ارتفاعات هذه المثلثات متساوية. AL = BK.
4. AL و BK عموديان على القرص المضغوط. النقطتان B و A تقعان على نفس الجانب من القرص المضغوط للخط المستقيم. AL = BK. لذلك ، فإن السطر AB || قرص مضغوط (**)
5. تشير الشروط (*) ، (**) إلى أن ABCD هو متوازي أضلاع.
إجابه. مثبت. ABCD هو متوازي الأضلاع.
المهمة 3.
على الجانبين BC و CD من متوازي الأضلاع ABCD ، يتم تمييز النقطتين M و H ، على التوالي ، بحيث يتقاطع المقطعان BM و HD عند النقطة O ؛<ВМD = 95 о,
المحلول.
1. في المثلث DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. في المثلث الأيمن DHC ثم<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 لكن CD = AB. ثم AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = الجواب: AB: HD = 2: 1 ،<А = <С = 30 о, <В = المهمة 4. أحد قطري متوازي أضلاع طوله 4√6 يصنع زاوية 60 درجة مع القاعدة ، والقطري الثاني يصنع زاوية 45 درجة مع نفس القاعدة. أوجد القطر الثاني. المحلول.
1. AO = 2√6. 2. طبق نظرية الجيب على المثلث AOD. AO / sin D = OD / sin A. 2√6 / sin 45 o = OD / sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. الجواب: 12.
المهمة 5. بالنسبة إلى متوازي أضلاع ضلعين 5√2 و 7√2 ، فإن الزاوية الأصغر بين القطرين تساوي الزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع. أوجد مجموع أطوال الأقطار. المحلول.
لنفترض أن د 1 ، د 2 هما قطري متوازي الأضلاع ، والزاوية بين الأقطار والزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع هي φ. 1. دعونا نعد اثنين مختلفين S ABCD \ u003d AB AD sin A \ u003d 5√2 7√2 sin f ، S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. نحصل على المساواة 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f أو 2 5√2 7√2 = د 1 د 2 ؛ 2. باستخدام النسبة بين الأضلاع والأقطار في متوازي الأضلاع ، نكتب المساواة (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = د 1 2 + د 2 2. د 1 2 + د 2 2 = 296. 3. لنصنع نظامًا: (د 1 2 + د 2 2 = 296 ، اضرب المعادلة الثانية للنظام في 2 وأضفها إلى الأولى. نحصل على (د 1 + د 2) 2 = 576. ومن هنا معرف 1 + د 2 أنا = 24. بما أن d 1 ، d 2 هي أطوال قطري متوازي الأضلاع ، إذن d 1 + d 2 = 24. الجواب: 24.
المهمة 6. ضلعا متوازي الأضلاع هما 4 و 6. الزاوية الحادة بين القطرين 45 o. أوجد مساحة متوازي الأضلاع. المحلول.
1. من المثلث AOB ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نكتب العلاقة بين ضلع متوازي الأضلاع والأقطار. AB 2 \ u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \ u003d (د 1/2) 2 + (د 2/2) 2-2 (د 1/2) (د 2/2) cos 45 o ؛ د 1 2/4 + د 2 2/4 - 2 (د 1/2) (د 2/2) √2 / 2 = 16. د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 √2 = 64. 2. وبالمثل ، نكتب علاقة المثلث AOD. نحن نأخذ ذلك في الاعتبار<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. نحصل على المعادلة د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 √2 = 144. 3. لدينا نظام بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على 2d 1 d 2 √2 = 80 أو د 1 د 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4. S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \ u003d 1/2 20√2 √2 / 2 \ u003d 10. ملحوظة:في هذه المسألة وفي المسألة السابقة ، ليست هناك حاجة لحل النظام بالكامل ، مع توقع أننا في هذه المسألة نحتاج إلى حاصل ضرب الأقطار لحساب المساحة. الجواب: 10. المهمة 7. مساحة متوازي الأضلاع 96 وضلعه 8 و 15. أوجد مربع القطر الأصغر. المحلول.
1. S ABCD \ u003d AB AD sin VAD. لنقم بالتعويض في الصيغة. نحصل على 96 = 8 15 sin VAD. ومن ثم الخطيئة VAD = 4/5. 2. أوجد cos BAD. الخطيئة 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. وفقًا لحالة المسألة ، نحسب طول القطر الأصغر. سيكون القطر BD أصغر إذا كانت الزاوية BAD حادة. ثم cos BAD = 3/5. 3. من المثلث ABD ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد مربع القطر BD. 2 دينار بحريني \ u003d AB 2 + AD 2-2 AB BD cos BAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. الجواب: 145.
هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل مشكلة الهندسة؟ الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر. "يوفر اكتشاف علمي كبير حلاً لمشكلة كبيرة ، ولكن في حل أي مشكلة هناك ذرة من الاكتشاف." متوازي الأضلاع له أضلاع متقابلة متساوية. دليل. دع ABCD يكون متوازي أضلاع معطى. ودع أقطارها تتقاطع عند النقطة O. متوازي الأضلاع له زوايا متقابلة. دليل. تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع وتنقسم نقطة التقاطع. دليل. دع ABCD يكون متوازي أضلاع معطى. لنرسم القطر AC. نضع علامة على الوسط O. في استمرار المقطع DO ، نضع جانباً الجزء OB 1 الذي يساوي DO. في الكتب المدرسية للمدارس العادية (على سبيل المثال ، في Pogorelov) ، ثبت على النحو التالي: الأقطار تقسم متوازي الأضلاع إلى 4 مثلثات. ضع في اعتبارك زوجًا واحدًا واكتشف - أنهما متساويان: إن قاعدتهما أضلاع متقابلة ، والزوايا المقابلة لهما متساوية مثل الرأسي مع خطوط متوازية. أي أن مقاطع الأقطار متساوية في الاتجاهين. كل شئ. هل هذا كل شيء؟ من المضحك صعوبة إثبات هذا الجزء. بالمناسبة ، هذا ناتج عن نتيجة أكثر عمومية: بالنسبة لأي رباعي محدب ، ستتقاطع الأقطار ، ولن تتقاطع مع أي شكل غير محدب. حول مساواة المثلثات على طول الجانب وزاويتين متجاورتين معه (العلامة الثانية لتساوي المثلثات) وغيرها. نظرية المساواة بين مثلثين على طول ضلع وزاويتين متجاورتين ، وجد طاليس تطبيقًا عمليًا مهمًا. تم بناء أداة تحديد المدى في ميناء ميليتس ، والتي تحدد المسافة إلى السفينة في البحر. وهي تتألف من ثلاثة أوتاد مدفوعة A و B و C (AB = BC) وخط مستقيم محدد SK ، عمودي على CA. عندما ظهرت السفينة على الخط المستقيم SC ، تم العثور على النقطة D بحيث كانت النقاط D و. B و E على نفس الخط المستقيم. كما هو واضح من الرسم ، فإن المسافة CD على الأرض هي المسافة المطلوبة للسفينة. العمل على الدرس كوزنتسوف أ. Poturnak S.A. يفجيني بيتروف يمكنك طرح سؤال حول التعليم الحديث أو التعبير عن فكرة أو حل مشكلة ملحة في منتدى التعليمحيث يلتقي دوليًا مجلس تعليمي للفكر والعمل الجديد. بعد أن خلقت مقالات،لن تقوم فقط بتحسين حالتك كمعلم كفء ، ولكن ستقدم أيضًا مساهمة كبيرة في تطوير مدرسة المستقبل. نقابة قادة التعليميفتح الأبواب أمام كبار المتخصصين ويدعوكم للتعاون في اتجاه إنشاء أفضل المدارس في العالم. تتضمن دورة الفيديو "الحصول على A" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز امتحان الرياضيات بنجاح بنسبة 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت تريد اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء! دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من اختبار الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها. كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018. تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح. المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان. دليل لنرسم القطر AC أولًا. يتم الحصول على مثلثين: ABC و ADC. بما أن ABCD متوازي أضلاع ، فإن ما يلي صحيح: م || BC \ Rightarrow \ angle 1 = \ angle 2مثل الكذب. AB || قرص مضغوط \ يمين \ زاوية 3 = \ زاوية 4مثل الكذب. لذلك ، \ مثلث ABC = \ مثلث ADC (بالميزة الثانية: و AC هو شائع). وبالتالي ، \ مثلث ABC = \ مثلث ADC ، ثم AB = CD و AD = BC. ثبت! 2. الزوايا المتقابلة متطابقة. دليل حسب الدليل الخصائص 1نحن نعرف ذلك \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \ الزاوية 3 = \ الزاوية 4. إذن مجموع الزوايا المتقابلة هو: \ الزاوية 1 + \ الزاوية 3 = \ الزاوية 2 + \ الزاوية 4. بالنظر إلى أن \ مثلث ABC = \ مثلث ADC نحصل على \ الزاوية أ = \ الزاوية ج ، \ الزاوية ب = \ الزاوية د. ثبت! 3. يتم تقسيم الأقطار بواسطة نقطة التقاطع. دليل لنرسم قطريًا آخر. بواسطة الملكية 1نعلم أن الأضلاع المتقابلة متطابقة: AB = CD. مرة أخرى نلاحظ الزوايا المتساوية بالعرض. وبالتالي ، يمكن ملاحظة أن \ triangle AOB = \ triangle COD بواسطة العلامة الثانية للمساواة بين المثلثات (زاويتان وضلع بينهما). أي BO = OD (المقابل \ الزاوية 2 و \ الزاوية 1) و AO = OC (المقابل \ الزاوية 3 و \ الزاوية 4 على التوالي). ثبت! إذا كانت هناك علامة واحدة فقط في مشكلتك ، فإن الشكل هو متوازي أضلاع ويمكنك استخدام جميع خصائص هذا الشكل. لتحسين الحفظ ، لاحظ أن علامة متوازي الأضلاع ستجيب على السؤال التالي - "كيف تعرف؟". أي كيفية معرفة أن الشكل المعطى متوازي أضلاع. 1. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ضلعه متساويان ومتوازيان. AB = قرص مضغوط ؛ AB || CD \ Rightarrow ABCD متوازي أضلاع. دليل دعونا نفكر بمزيد من التفصيل. لماذا م || قبل الميلاد؟ \ مثلث ABC = \ مثلث ADC به الملكية 1: AB = CD ، AC شائع و \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 بالعرض مع AB و CD بالتوازي والقطع AC. لكن إذا كان \ مثلث ABC = \ مثلث ADC ، إذن \ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 (يقعان مقابل AB و CD على التوالي). وبالتالي م || BC (\ الزاوية 3 و \ الزاوية 4 - الكذب أيضًا متساويان). أول علامة صحيحة. 2. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متساوية. AB = CD، AD = BC \ Rightarrow ABCD متوازي أضلاع. دليل دعونا ننظر في هذه الميزة. لنرسم القطر AC مرة أخرى. بواسطة الملكية 1\ مثلث ABC = \ مثلث ACD. إنه يتبع هذا: \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \ Rightarrow AD || قبل الميلادو \ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 \ السهم الأيمن AB || قرص مضغوط، وهذا هو ، ABCD هو متوازي الأضلاع. العلامة الثانية صحيحة. 3. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي زواياه المتقابلة متساوية. \ الزاوية أ = \ الزاوية ج ، \ الزاوية B = \ الزاوية D \ Rightarrow ABCD- متوازي الاضلاع. دليل 2 \ ألفا + 2 \ بيتا = 360 ^ (\ دائرة)(لأن ABCD شكل رباعي ، و \ زاوية أ = \ زاوية ج ، \ زاوية ب = \ زاوية د حسب الاصطلاح). لذلك \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ). لكن \ alpha و \ beta داخليان من جانب واحد عند القاطع AB. وحقيقة أن \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) تعني أيضًا أن AD || قبل الميلاد. في نفس الوقت ، \ alpha و \ beta هما داخليان من جانب واحد مع عنصر AD قاطع. وهذا يعني AB || قرص مضغوط. العلامة الثالثة صحيحة. 4. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي يتم تقسيم أقطاره بواسطة نقطة التقاطع. AO = OC ؛ BO = OD \ متوازي أضلاع Rightarrow. دليل BO = OD ؛ AO = OC ، \ angle 1 = \ angle 2 عموديًا \ Rightarrow \ triangle AOB = \ triangle COD, \ Rightarrow \ angle 3 = \ angle 4و \ Rightarrow AB || قرص مضغوط. وبالمثل BO = OD ؛ AO = OC ، \ الزاوية 5 = \ الزاوية 6 \ السهم الأيمن \ المثلث AOD = \ مثلث BOC \ السهم الأيمن \ الزاوية 7 = \ الزاوية 8و \ Rightarrow AD || قبل الميلاد. العلامة الرابعة صحيحة.
(
(بما أن الضلع الذي يقع في المثلث القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر).
طرق منطقته.
(د 1 + د 2 = 140.
(د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 2 = 64 ،
(د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 2 = 144.
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!
موضوع الدرس
أهداف الدرس
أهداف الدرس
خطة الدرس
مقدمة
خصائص الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع
بما أن Δ AOB = Δ COD من خلال العلامة الأولى للمساواة بين المثلثات (∠ AOB = ∠ COD ، مثل المثلثات الرأسية ، AO = OC ، DO = OB ، بخاصية أقطار متوازي الأضلاع) ، ثم AB = CD. وبالمثل ، من المساواة بين المثلثات BOC و DOA ، يتبع ذلك BC = DA. لقد تم إثبات النظرية. خاصية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع
دع ABCD يكون متوازي أضلاع معطى. ودع أقطارها تتقاطع عند النقطة O.
من خصائص الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع المثبتة في النظرية على ABC = Δ CDA من ثلاثة جوانب (AB = CD ، BC = DA من المثبت ، AC عام). ويترتب على المساواة بين المثلثات أن ∠ABC = ∠CDA.
ثبت أيضًا أن ∠ DAB = ∠ BCD يتبع من ∠ ABD = ∠ CDB. لقد تم إثبات النظرية.خاصية أقطار متوازي الأضلاع
حسب النظرية السابقة ، AB 1 CD هو متوازي أضلاع. لذلك ، الخط AB 1 يوازي DC. ولكن من خلال النقطة A ، يمكن رسم خط واحد فقط بالتوازي مع DC. ومن ثم ، يتطابق الخط AB 1 مع الخط AB.
ثبت أيضًا أن BC 1 يتزامن مع BC. لذا فإن النقطة C تتطابق مع C 1. متوازي الأضلاع ABCD يتطابق مع متوازي الأضلاع AB 1 CD. لذلك ، تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع ونقطة التقاطع. لقد تم إثبات النظرية.
ثبت أعلاه أن نقطة التقاطع تقسم الأقطار - إن وجدت. المنطق أعلاه لا يثبت وجودها بأي شكل من الأشكال. أي أن جزء نظرية "تقاطع الأقطار متوازي الأضلاع" لا يزال غير مثبت.
أسئلة
قائمة المصادر المستخدمة
ميزات متوازي الأضلاع
