Как решить систему дифференциальных уравнений?
Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.
Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:
– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:
– Метод исключения . Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.
– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).
В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.
Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)
Что тут есть?
– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.
И – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».
И – первые производные неизвестных функций и соответственно.
Что значит решить систему дифференциальных уравнений?
Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений . Только там корнями являются числа, а здесь – функции.
Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений
:
В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».
Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы , удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.
Более компактно систему можно переписать так:
Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.
Пример 1
Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений 
с начальными условиями , .
Решение: В задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.
Решим систему методом исключения . Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.
Алгоритм решения стандартен:
1) Берем второе уравнение системы
и выражаем из него :
Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).
2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :
Со «штрихами» процесс выглядит так:
Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.
3) Подставим и 
в первое уравнение системы :
И проведём максимальные упрощения:
Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: 
.
– получены различные действительные корни, поэтому:
.
Одна из функций найдена, пол пути позади.
Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.
4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию 
и находим её производную. Дифференцируем по :
Подставим 
и в уравнение (*):
Или короче: 
5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:
Ответ:
частное решение: 
Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:
1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :
Оба начальных условия выполняются.
2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .
Берём из ответа функцию 
и находим её производную:
Подставим 
, и 
в первое уравнение системы:
Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.
3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы
Берём из ответа функцию и находим её производную:
Подставим 
, и 
во второе уравнение системы:
Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.
Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение 
удовлетворяет каждому
уравнению исходной системы 
.
Аналогично можно проверить и общее решение 
, проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.
Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.
Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: 
. Далее находится первая производная: 
. Потом следует подставить 
и 
во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .
И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен 
и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.
Можно пойти и путём Примера №1 – из второго уравнения выразить 
(заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.
Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:
По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.
Пример 3
Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям
Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения , при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.
1) Из первого уравнения системы выражаем:
Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?
И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.
2) Дифференцируем по обе части:
Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.
3) Подставим 
и 
во второе уравнение системы 
:
Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:
Теперь проводим упрощения:
В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.
Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.
Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:
Подставим в левую часть неоднородного уравнения:
Таким образом:
Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».
В результате:
4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :
Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.
Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.
Подставим
и в уравнение (*):
5) Общее решение системы:
6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям 
:
Окончательно, частное решение:
Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.
Ответ:
частное решение: 
Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.
Пример проще для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям
Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.
В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.
Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)
Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.
Пример 5
Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений
Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения
Решение:
Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:
По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.
Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали
, вычитаем некоторый параметр :
На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.
Раскрываем определитель:
И находим корни квадратного уравнения:
Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты
1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:
(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)
Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:
Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то
Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.
Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x (t) и y (t) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.
Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x (t) из 1 -го уравнения:
d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2
Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t:
d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t
Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:
d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) · d y d t + (a 1 · b 2 - a 2 · b 1) · y = a 2 · c 1 - a 1 · c 2
Так мы исключили неизвестную функцию x (t) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y (t) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x (t) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.
Пример 1
Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3
Решение
Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x:
x = d y d t - 2 y + 3
Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t
Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:
d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2
В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y (t) .
Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 - 3 k + 2 = 0:
D = 3 2 - 4 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2
Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .
Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y ~ :
d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2
Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y ~ = A , где А – это неопределенный коэффициент.
Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1
Таким образом, y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.
Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x (t)
:
d (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) d t = x + 2 · (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) - 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1
Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x (t) = - C 1 · e t + 1 .
Ответ: x (t) = - C 1 · e t + 1 y (t) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами
Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,
где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа представим в матричной записи:
- матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
- матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
- матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.
Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$.
Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами
Пусть имеется матрица некоторых чисел $\alpha =\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_{1} =\alpha _{1} \cdot e^{k\cdot x} $, $y_{2} =\alpha _{2} \cdot e^{k\cdot x} $, \dots , $y_{n} =\alpha _{n} \cdot e^{k\cdot x} $. В матричной форме: $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=e^{k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Отсюда получаем:
Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:
Полученное уравнение можно представить так:
Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.
Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.
Это уравнение называется характеристическим.
Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. Для каждого значения $k_{i} $ из системы $\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)=0$ может быть определена матрица значений $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(i\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(i\right)} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(i\right)} } \end{array}\right)$.
Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.
Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:
$\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{k_{1} \cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{k_{2} \cdot x} } \\ {\ldots } \\ {C_{n} \cdot e^{k_{n} \cdot x} } \end{array}\right)$,
где $C_{i} $ -- произвольные постоянные.
Задача
Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =5\cdot y_{1} +4y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +5\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.
Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)$.
В матричной форме данная СОДУ записывается так: $\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dt} } \\ {\frac{dy_{2} }{dt} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)$.
Получаем характеристическое уравнение:
$\left|\begin{array}{cc} {5-k} & {4} \\ {4} & {5-k} \end{array}\right|=0$, то есть $k^{2} -10\cdot k+9=0$.
Корни характеристического уравнения: $k_{1} =1$, $k_{2} =9$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{1} =1$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{1} } & {4} \\ {4} & {5-k_{1} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)=0,\]
то есть $\left(5-1\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +\left(5-1\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(1\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(1\right)} =-1$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{2} =9$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{2} } & {4} \\ {4} & {5-k_{2} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)=0, \]
то есть $\left(5-9\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +\left(5-9\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(2\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(2\right)} =1$.
Получаем решение СОДУ в матричной форме:
\[\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{1\cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right).\]
В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {y_{1} =C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \\ {y_{2} =-C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right. $.
Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений. В частности, к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение тел в пространстве под действием заданных сил.
Пусть, например, по некоторой кривой (L) в пространстве под действием силы F движется материальная точка массы . Требуется определить закон движения точки, т. е. зависимость координат точки от времени.
Допустим, что
радиус-вектор движущейся точки. Если переменные координаты точки обозначить через , то
Скорость и ускорение движущейся точки вычисляется по формулам:
(см. гл. VI, § 5, n. 4).
Сила F, под действием которой движется точка, вообще говоря, является функцией времени, координат точки и проекций скорости на оси координат:
На основании второго закона Ньютона уравнение движения точки записывается следующим образом:
Проектируя векторы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, на оси координат, получим три дифференциальных уравнения движения:
Эти дифференциальные уравнения представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех искомых функций:
В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы уравнений первого порядка специального вида относительно искомых функций . Эта система имеет вид
Система уравнений (95) называется системой в нормальной форме, или нормальной системой.
В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.
Решением системы (95) называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.
Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков можно свести к нормальной системе, если ввести новые искомые функции. Так, например, систему (94) можно преобразовать в нормальную форму следующим образом. Введем новые функции положив . Тогда и скстема Уравнении (94) запишется следующим образом:
Система (96) является нормальной.
Рассмотрим, например, нормальную систему из трех уравнений с тремя неизвестными функциями :
Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом.
Теорема. Пусть правые части уравнений системы (97), т. е. функции непрерывны по всем переменным в некоторой области G и имеют в ней непрерывные частные производные Тогда каковы бы ни были значения принадлежащие области G, существует единственное решение системы удовлетворяющее начальным условиям:
Для интегрирования системы (97) можно применить метод, с помощью которого данная система, содержащая три уравнения относительно трех искомых функций, сводится к одному уравнению третьего порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на примере применение этого метода.
Для - простоты ограничимся системой из двух уравнений. Пусть дана система уравнений
Для нахождения решения системы поступаем следующим образом. Дифференцируя первое из уравнений системы по находим
Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы, получим
Заменяя, наконец, функцию у ее выражением из первого уравнения системы
получим линейное однородное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции:
Интегрируя это уравнение, находим его общее решение
Дифференцируя равенство находим
Подставляя выражения для x и в равенство и приводя подобные члены, получим
являются решением данной системы.
Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных уравнений, мы получили ее решение, зависящее от двух произвольных постоянных Можно показать, что и в общем случае для нормальной системы, состоящей из уравнений, ее общее решение будет зависеть от произвольных постоянных.